Квадратный корень в круговых полях

[arseniiv]

Пусть у нас есть $a\in\mathbb Q(\zeta_n)$, тогда как бы определить какие-нибудь $m$ и $b\in\mathbb Q(\zeta_m)$ такие, что $b^2 = a$? (Уже не очень уверен, что они всегда существуют, но вроде должны, и как понимаю тогда можно принять $m = nk$.) Может быть это уже где-нибудь было описано.

Я даже тест наличия квадратного корня в том же поле не смог состряпать; если бы мы могли работать с многочленами, коэффициенты которых циклически повторяются (притворившись, что $\zeta_n$ — это просто неизвестная), тут красиво спасло бы фурьение, но так как представление $a$ многочленом не единственно, этот подход не несёт плодов.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #1473808 писал(а):

Пусть у нас есть $a\in\mathbb Q(\zeta_n)$, тогда как бы определить какие-нибудь $m$ и $b\in\mathbb Q(\zeta_m)$ такие, что $b^2 = a$? (Уже не очень уверен, что они всегда существуют, но вроде должны, и как понимаю тогда можно принять $m = nk$.)

Здесь, как я понимаю, $\zeta_n$ --- это первообразный корень из единицы степени $n$. Возьмем $n=4$, тогда $\zeta_4=i$. Пусть $a=1+i \in \mathbb{Q}(i)$. Попробуйте решить Вашу задачу для такого $a$.

arseniiv в сообщении #1473808 писал(а):

Я даже тест наличия квадратного корня в том же поле не смог состряпать;

Есть общий алгоритм факторизации многочлена над полем алгебраических чисел. В частности, можно факторизовать многочлен $x^2-a$ над $\mathbb{Q}(\zeta_n)$.

[vpb]

arseniiv в сообщении #1473808 писал(а):

Уже не очень уверен, что они всегда существуют, но вроде должны,

Нет сомнения в том. Любое абелево поле (т.е расширение Галуа ${\mathbb Q}$, у которого группа Галуа абелева) вкладывается в круговое (теорема Кронекера). А хотя ... надо подумать, однако !

-- 15.07.2020, 04:10 --

А не, фигня конечно... Берем поле $F$ с группой $G\cong D_8$. В группе есть центральная инволюция $t$. Её неподвижное подполе $E=F^{\{1, t\}}$ --- это поле с группой $G/\{ 1,t\}\cong Z_2\times Z_2$, и потому подполе в круговом $L$. Само $F$ неабелево (его группа неабелева), и посему не может быть подполем в круговом. Но в то же время $F$ --- квадратичное расширение для $E$. А посему композит $LF$ --- квадратичное расширение для $L$. И т.д.

(Дисклеймер: давненько не брал я в руки шашек, может где и промахнулся).

-- 15.07.2020, 04:13 --

Кажется, коллега nnosipov примерно на то и намекает, только в явном виде...

[nnosipov]

vpb в сообщении #1473824 писал(а):

давненько не брал я в руки шашек, может где и промахнулся

Да нет, мастерство так просто не пропьешь В моем примере как раз $D_8$ (она же $D_4$, в другой традиции). Засыпая, пытался сообразить, как доказать элементарно (без теории Галуа), но не сообразил.

[arseniiv]

М-да.

nnosipov в сообщении #1473822 писал(а):

Есть общий алгоритм факторизации многочлена над полем алгебраических чисел. В частности, можно факторизовать многочлен $x^2-a$ над $\mathbb{Q}(\zeta_n)$.

О, и за это спасибо.