Задача про переменную электроёмкость и мощность

[EUgeneUS]

Kanaev в сообщении #1473779 писал(а):

Ток проходит очень маленький, и поэтому можно им пренебречь?

Нее. Ток-то может и не маленький проходить, если сопротивление маленькое.

Договорились же, что $\varepsilon \approx \frac{q}{C}$
Как связан заряд на конденсаторе $q$ и ток через конденсатор $I$&

[Kanaev]

$q=It$

[StaticZero]

Вас сейчас поправят на эту тему, но я хочу про другое сказать.

Вы, кажется, путаете мягкое с тёплым. У вас есть здесь, грубо говоря, две подсистемы. Подсистема "резистор+батарейка" имеет фиксированные параметры, здесь нет никакой малости. Есть подсистема "конденсатор", в которой вся малость и заключена. Дальше вот что; мне могут дать по балде, но я рискну.

Вас сбивает с толку представление о том, что через конденсатор течёт ток примерно так же, как через резистор. Резистор обладает тем свойством, что движение зарядов происходит именно в том материале (с подобранными размерами и формой), из которого он сделан. В конденсаторе у вас есть две обкладки и диэлектрик, и там нет никаких токоведущих частей между двумя обкладками. Капитан Очевидность подсказывает, что представление о прохождении тока через конденсатор здесь неверно. Но ток-то есть, амперметр же его фиксирует?

Ответ: амперметр фиксирует ток в цепи, содержащей конденсатор. Почувствуйте разницу: ток буквально протекает В резисторе, но в то же время он протекает в проводах, подключённых к обкладкам конденсатора (а не через него непосредственно!), то есть, очень условно говоря, он течет ВОКРУГ конденсатора (это надо понимать, как мнемонику; точный смысл -- он именно про подключённые провода, а не про всё пространство, окружающее конденсатор).

(Оффтоп)

Причиной является перераспределение зарядов на обкладках (да, $i = \dot q$, простите за банальности). В свою очередь, это обычно вызывается изменением поля внутри конденсатора по какой-либо причине. А оно в первом приближении $E = U/d$...

Короче: если изменить ёмкость на $\Delta C$, то заряд обкладок изменится на $\Delta q$. Величины $\Delta C$ и $\Delta q$ одного порядка малости.

Зарядам взяться больше неоткуда, кроме остальной цепи; они должны прибежать через все элементы, которые в ней есть. Резисторы мешают зарядам бегать, поэтому ток перезарядки $\Delta I$ ограничен. Он одного порядка малости с $\Delta q$ и $\Delta C$.

Если вам зарядов нужно сразу и много, то придётся подождать примерно характерное время перезарядки $\tau = RC$ (и пока происходит перезарядка, напряжение на конденсаторе будет меньше, чем даёт батарейка -- заряды, создающее поле внутри конденсатора, ещё не прибежали в нужном количестве).

Ваше условие малости частоты означает, что зарядов, может, нужно и много, но не сразу. Это значит, что возникающий ток $\Delta I$ очень мал по сравнению с характерной величиной $\mathcal E/R$ (но он всё ещё того же порядка малости, что и изменения в конденсаторе). Следовательно, заряды в любой момент времени считаются наличествующими в достаточном количестве, чтобы обеспечить напряжение на конденсаторе, равное ЭДС $\mathcal E$.

Мягкое с тёплым вы спутали именно здесь: ток маленький для одной подсистемы, а для другой подсистемы, в которой происходят изменения, он того же порядка, что и сами изменения.

(Оффтоп)

Короче, от вас хотят связи тока с $\dot C(t)$.

[EUgeneUS]

Kanaev в сообщении #1473790 писал(а):

$q=It$

Это верно только в одном случае: ток постоянный во времени.
Вспомните или найдите в учебниках более общую зависимость.

StaticZero
многословно и путано.

[Kanaev]

$I=\frac{\varepsilon}{\sqrt{R^2+(\frac{\varepsilon}{\omega q})^2}}$
Никак не могу понять, $R$ тут нужно учитывать или нет

[EUgeneUS]

Kanaev
Как Вы это получили? Расскажите по шагам.

[Kanaev]

Я вспомнил формулу $I=\frac{\varepsilon}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2 C^2}}}$ и подставил в неё $C=\frac{q}{\varepsilon}$.

[EUgeneUS]

Kanaev в сообщении #1473848 писал(а):

Я вспомнил формулу

Неверный ход.
Может Вам поможет такая подсказка: ток - это скорость изменения заряда. Можете записать формулой это?

[Kanaev]

$I=q'$

[EUgeneUS]

Ага.
Вспоминаем, что нам известно.
1. $U_C = \frac{q}{C}$, это для конденсаторов всегда так.
2. $U_C \approx \varepsilon$, это мы вывели из условия $\frac{2\pi}{\omega}\gg\tau$
3. $I = \frac{d q}{d t}$, это для конденсаторов всегда так.
4. $C=C(t)=C_0(1+A\sin\omega t)$, это дано в условиях.

Теперь нужно все это собрать в кучу и написать, чему равен ток через конденсатор.

[Kanaev]

Получилось $I\approx\varepsilon C_0 A \omega \cos{\omega t}$

[EUgeneUS]

Kanaev
Бинго!
Этот же ток течет через $R$.
Какая мощность выделяется на резисторе?

[Kanaev]

$P\approx(\varepsilon C_0 A \omega \cos{\omega t})^2 R$

[EUgeneUS]

Kanaev
Вы нашли так называемую мгновенную мощность.
Но если в задачах не делается специальных оговорок, то под мощностью понимается мощность средняя за период. Сможете её найти?

Термины "действующее напряжение", "действующий ток" знаете?

[Kanaev]

Да, знаю. Ответ получился. Спасибо!