Деление прямоугольника на различное количество равных частей

[frostysh]

Задача состоит в том что на рисунке прямоугольник делится на три равные части по следующей инструкции: проводим диагонали прямоугольника $AC$ и $BD$, с точки пересечения диагоналей $O$, проводим отрезок к точке $K$ лежащей на $BC$, параллельный стороне $AB$, с вершины $A$ проводим еще один отрезок $AK$, который пересекает диагональ в точке $S$, по аналогии находим точку $N$ такую что $BN = 1/3 \mkern 3mu BC$. Почему проекция точки $S$ на отрезок $BC$, отсекает ровно одну треть этого отрезка?

Могу легко доказать почему линия проведенная через центр прямоугольника $ABCD$, параллельно меньшей стороне, делит большую сторону пополам с помощью признаков тождественности треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle DOC$, ниже на рисунке. Но вот с делением на три равных части, я завис как это часто случается со мной в математике...



Не пойму как доказать тождественность треугольников $\triangle MNS$ и $\triangle NKS$, с которой должно следовать деление на три части. Нарисовать этот прямоугольник на, опять же, плоских прямоугольных координатах, вершиной $A$ в центре координат, и представить что $AC$, поворачиваясь против часовой стрелки, переходит $AK$, увеличивая при этом свой наклон в два раза, ибо с предыдущего рисунка мы знаем что точка $K$ находится ровно середине $BC$, сосчитать при этом координату по оси абсцисс сначала для точки $O$, а потом для точки $S$ и увидеть что вторая ровно на треть меньшая за первую координату? А без координат это же должно как-то доказываться.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- в чем состоит задача?
- картинки обязательно должны быть такими расплывчатыми и кривыми?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Dmitriy40]

Докажите подобие треугольников $\triangle ASB$ и $\triangle KSO$, потом из $AB=2KO$ (причём $KO$ является средней линией треугольника $\triangle ASB$, откуда ещё много полезного сразу следует) следует $BN=2NK$, ну а уж точку $M$ вы поставили "по построению". Собственно всё, дальше тривиально.

[frostysh]

Dmitriy40

Да, точно! Доказать подобие треугольников $\triangle ASB$ и $\triangle KSO$ легко видеть через вертикальные и две пары внутренних разносторонних углов.



А поскольку треугольники подобные, и с того что мы поделили прямоугольник пополам $h' = 1/2 \mkern 2mu h$, и соответственно отрезки $BN = 2NK$, а дальше по симметрии. И да, отрезок $OK$ равный по длине серединному отрезку параллельному $AB$ в треугольнике $\triangle ASB$, потому как он проходит через середину высоты. А я почему-то втупился не в те треугольники... Спасибо.

[VAL]

Треугольник $BCD$, прямая $AK$, теорема Менелая.

[TOTAL]

Медиана треугольника делятся точкой пересечения в нужном отношении.

[frostysh]

За всем не успеваю, там еще деления на пять частей впереди... Теорема Менелая? Впервые слышу, посмотрю. Сразу так не пойму какого треугольника и какая медиана, и пересечение с чем, но разберусь.

[OlegCh]

frostysh в сообщении #1473704 писал(а):

Почему проекция точки $S$ на отрезок $BC$, отсекает ровно одну треть этого отрезка?

Потому что $S$ - точка пересечения медиан тр-ка $ABC$
(хотя выше уже написали...)