Уравнения Эйлера--Лагранжа

[Red_Herring]

VanD в сообщении #1473794 писал(а):

Аналогия подсказывает, что для каждого отдельного критического пути будет $\lambda = \lambda(t)$, но для разных путей эти функции от $t$ будут разными, то есть просто объявить во всей системе диффуров, что $\lambda = \lambda(t)$ не выйдет.

Разумеется для разных критических путей функции $\lambda(t)$ будут разными, точно так же как в предыдущем примере константа $\lambda$ будет разной для разных критических точек. Вне критических решений (точек или путей) $\lambda$ не определена. Разумеется, можно доопределить $\lambda$ из какого-то уравнения, но вовсе не факт, что это всегда нужно делать. Это может быть просто вредно, хотя бы просто потому, что выражая $\lambda$ из разных уравненичй мы получим разные уравнения.

Пример, показывающий вредность данного совета (помимо затушевывания того что вне критических решений (точек или путей) $\lambda$ не определена). Рассмотрим критические точки

$$ \sum_{j=1} ^4 (x_j^4 - 4x^2_j), \qquad \sum_{j=1}^4x_j=1. $$

Получаем систему уравнений

$$ 4x_j^3 - 8x_j = \lambda, \qquad j=1,\ldots, 4 $$

и сразу видим, что поскольку уравнение имеет не более 3х корней, то какие-то два из $x_j$ совпадают.

При большем числе ограничений, и соответственно большем числе множителей Лагранжа вредность совета возрастает.

StaticZero в сообщении #1473802 писал(а):

Я пожую пока эту мысль.

И охота вам тянуть в рот всякую бяку. Выплюньте!

[VanD]

Red_Herring в сообщении #1473809 писал(а):

При большем числе ограничений, и соответственно большем числе множителей Лагранжа вредность совета возрастает.

Хм, но совета-то вроде не было? Была речь о том, что, решив систему, мы получим не одну конкретную функцию $\lambda(t)$, а под каждый критический путь свою функцию. То есть тут так же, как в истории про

$$ \operatorname{grad}\, F + \lambda\, \operatorname{grad}\, f = 0,\qquad f = 0 $$

можно считать, что $\lambda$ просто играет роль ещё одной зависимой переменной. А по итогу в ответе получать в качестве $\lambda$ семейство функций.

[Red_Herring]

VanD в сообщении #1473817 писал(а):

можно считать, что $\lambda$ просто играет роль ещё одной зависимой переменной.

А почему зависимой? И от чего зависимой? Заведомо, не от точки, а от уровня функции $f$ или функционала $M$. И не надо путать сведение вариационной задачи к уравнениям и решение этих уравнений.

Еще характерный пример: собственное нижнее собственное значение, скажем оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле. Там ищется $(\Delta +\lambda )u =0$, $u|_\Gamma=0$, решение вариационной задачи $\|\nabla u\|^2$ при условиях $\u\|^2=1$, $u|_\Gamma=0$. Никто и никогда не выражает $\lambda $ как $\lambda =-\frac{\Delta u}{u}$. А если говорить о следующих собственных значениях, то это совсем плохо, т.к. $u$ заведомо где-то обращается в $0$.

[VanD]

Red_Herring в сообщении #1473821 писал(а):

И не надо путать сведение вариационной задачи к уравнениям и решение этих уравнений.

так ведь речь ТС выше шла о том, чтобы потестировать, от чего зависит $\lambda$ уже через уравнения. Сомнения, как я понял, касались именно этого. Я, видимо, как-то неоднозначно выразился, но проделывать такое на практике

Red_Herring в сообщении #1473821 писал(а):

Никто и никогда не выражает $\lambda $ как $\lambda =-\frac{\Delta u}{u}$.

и близко не имел в виду. Я говорил о том, что нет никакого противоречия в аналогии с тем, чтобы в теории аккуратно выразить $\lambda$ из какого-нибудь уравнения и в конце найти, что $\lambda$ определена только на критических точках.

При этом в системе дифференциальных уравнений для разных путей (ну разумеется, критических) в силу системы функции от $t$ будут разными, то есть появится зависимость от начальных данных и получится семейство функций. То есть в системе уравнений просто можно считать, что $\lambda$ это что-то вроде $q^{n+1}$ -- ещё одной зависимой переменной. А ждать, что для всей системы уравнений $\lambda$ окажется одной конкретной функцией от $t$ не приходится.

А так и в силу системы для каждого отдельно взятого критического пути будет своя конкретная функция $\lambda(t)$ и других аргументов у неё не будет -- вот что даёт тест на аргументы $\lambda$ через систему дифференциальных уравнений.

[Red_Herring]

VanD мне показалось, что ТС воспринял все не так, как Вы или я себе представляем, и не разделил два этапа.

[Sicker]

Задача участникам форума
Пусть дана система уравнений на плоскости $x''=f(x',x), y''=g(y',y)$, производные по $t$. Напишите уравнения при наличии динамической связи $l(x,y,t)=const$

[StaticZero]

VanD в сообщении #1473871 писал(а):

речь ТС выше шла о том, чтобы потестировать, от чего зависит $\lambda$ уже через уравнения. Сомнения, как я понял, касались именно этого

Да, именно!

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1473929 писал(а):

Задача участникам форума
Пусть дана система уравнений на плоскости $x''=f(x',x), y''=g(y',y)$, производные по $t$. Напишите уравнения при наличии динамической связи $l(x,y,t)=const$

Если уже есть уравнения, то накладывать какие-либо связи поздно.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1474009 писал(а):

Если уже есть уравнения, то накладывать какие-либо связи поздно.

Ок, пусть у нас есть бусинка на меняющей форму леске, трение ноль. На бусинку действует сила $(f,g)$. Написать уравнения движения бусинки

[pogulyat_vyshel]

Стандартная задача на уравнения Лагранжа второго рода и что?

[Sicker]

pogulyat_vyshel
Так ведь ее можно и без уравнений лагранжа второго рода решить, просто подобрав дополнительную силу так, чтобы нормальное ускорение было равно кривизне лески

[pogulyat_vyshel]

Sicker в сообщении #1474033 писал(а):

Так ведь ее можно и без уравнений лагранжа второго рода решить, просто подобрав дополнительную силу так,

так ведь подбор такой силы это в точности описанная выше процедура нахождения множителей Лагранжа

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1474044 писал(а):

так ведь подбор такой силы это в точности описанная выше процедура нахождения множителей Лагранжа

С которой у ТС проблемы

[Padawan]

Попытаюсь дать ответ, насколько я его понимаю.
Пусть есть функционал $\mathscr F(x)=\int\limits_a^b F(t, x, \dot{x})dt$, от функции $ x\in C^1 ([a,b],\mathbb R^n)$. И пусть есть ограничения на $x$ вида $\Phi(t,x,\dot x)=0$ для всех $t\in[a,b]$, где $\Phi$ -- скалярная функция своих аргументов. Предположим, что некоторая функция $x(t)$ является экстремалью функционала $\mathscr F$ при заданных ограничениях. В пространстве $C^1 ([a,b],\mathbb R^n)$ уравнение связи $\Phi(t,x,\dot x)=0$ задает некоторое многообразие, касательное пространство к которому в точке $x$, обозначим его $T_x$, состоит из всех вариаций $\delta x\in C^1([a,b],\mathbb R^n)$ удовлетворяющих условию

$$ \Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x=0\;\;\text{ при всех } t\in [a,b] $$

На этом подпространстве должна обращаться в нуль вариация функционала $\mathscr{F}$

$$ \delta\mathscr F(\delta x)=\int\limits_a^b(F'_x\delta x+F'_{\dot x} \delta{\dot x})dt $$

Таким образом, у нас есть линейный оператор \delta\Phi\colon T_x\ni\delta x\mapsto\Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x\in C([a,b],\mathbb R)$ такой, что из $\delta\Phi(\delta x)=0$ следует $\delta\mathscr F(\delta x)=0$. Тогда (см. тему https://dxdy.ru/topic46999.html) существует непрерывный линейный оператора $\Lambda\colon C([a,b],\mathbb R)\to \mathbb R$ такой, что $\delta\matscr F=\Lambda\circ\delta\Phi$. Теперь надо понять, как может выглядить линейный непрерывный оператор $\Lambda\colon C([a,b],\mathbb R)\to \mathbb R$ такой, чтобы

$$ \int\limits_a^b(F'_x\delta x+F'_{\dot x} \delta{\dot x})dt=\Lambda(\Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x) $$

Видимо, только $\Lambda(\varphi)=\int\limits_a^b\lambda (t)\varphi(t) dt$, где $\lambda(t)$ -- непрерывная скалярная функция на $[a,b]$. Почему только такой, я пока еще не совсем понимаю. По идее можно брать интеграл по произвольной мере (по функции ограниченной вариации), теорема Рисса.
В итоге получается

$$ \int\limits_a^b(F'_x\delta x+F'_{\dot x} \delta{\dot x})dt=\int\limits_a^b\lambda (t)(\Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x)dt $$

для всех функций $\delta x\in C^1([a,b],\mathbb R^n)$. Отсюда обычным методом получаются уравнения Эйлера-Лагранжа для плотности $L(t,x,\dot x)=F(t,x,\dot x)-\lambda(t)\Phi(t,x,\dot x)$.