2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 18:52 


11/07/20
5
Ребят,

Подскажите, как решить следующий предел, основываясь исключительно на производных:

$\displaystyle{\lim_{x\to \infty} \frac{e^{r\cdot lnx}}{x}}$

Значения для $r$ - вещественные и притом положительные, без учета тривиального случая $r=1$.


Мои соображения:
0. Без производных вроде как все ясно:
$\displaystyle{\lim_{x\to \infty} \frac{e^{r\cdot lnx}}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{x^{r}}{x}=\lim_{x\to \infty} x^{r-1}=    \begin{cases}
      0 & \text{если $r$ от $0$ до $1$}\\
      \infty & \text{если $r$ больше $1$}\\
    \end{cases}} $
1. Правило Лопиталя тут не работает, потому что показательная функция, к сожалению, не перестает рожать $\frac{1}{x}$ при вычислении производного.
2. Также непонятно, как тут может помочь разложение показательной функции в ряд Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
eos93 в сообщении #1473338 писал(а):
основываясь исключительно на производных:

В задаче так и написано прям?

-- 11.07.2020 в 19:38 --

И да, $\ln x$ = \ln x.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 20:30 


11/07/20
5
Цитата:
В задаче так и написано прям?


Да, так и требовалось, и я никак не пойму, как можно тут производными до решения дойти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Перейдите к отношению обратных величин (к числителю и знаменателю), к неопределенности $0/0$, а там производными по Лопиталю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
Ну если хочется чесать левое ухо правой пяткой...
Нужно проверить применимость правила Лопиталя, после чего обнаружить, что предел равен себе, умноженному на $r$. Это очень сильно ограничивает количество вариантов, чему он может быть равен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 22:06 


11/07/20
5
alisa-lebovski в сообщении #1473361 писал(а):
Перейдите к отношению обратных величин (к числителю и знаменателю), к неопределенности $0/0$, а там производными по Лопиталю.


$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{e^{r \cdot \ln x}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{x^2}}{-r \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{r \cdot \ln x}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{r \cdot \frac{1}{e^{r \cdot \ln x}}}}$...

То есть возвращаюсь к исходнику, с некоей константой... Непонятно, что мне дает инверсия числителя и знаменателя.

$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}=r \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}}$

Исходя из этого:
1. если предел существует (иными словами, если имеется сходимость), то он равен нулю.
2. если предел расходится к бесконечности, то тоже все в порядке (так как $r>0$)

Но как доказать, основываясь на производных, что третьего случая нет?

К тому же непонятно, как можно соотнести случаи 1. и 2. к соответствующим значениям $r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
eos93 в сообщении #1473364 писал(а):
Но как доказать, основываясь на производных, что третьего случая нет?

У вас уравнение $L = rL$, где $L$ --- предел. Какой там может быть третий случай?

eos93 в сообщении #1473364 писал(а):
Непонятно, что мне дает инверсия числителя и знаменателя.

Так вы не сделали переход к пределу типа $y \to 0+$, как вас просили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 23:00 


11/07/20
5
StaticZero в сообщении #1473368 писал(а):
У вас уравнение $L = rL$, где $L$ --- предел. Какой там может быть третий случай?


$L = rL$ было получено на основании предположения о наличии либо сходимости, либо расходимости к бесконечности, как я понимаю. Но это не доказывает, что исходный предел не может иметь третьего случая, то есть когда он ни к чему не стремится.

StaticZero в сообщении #1473368 писал(а):
Так вы не сделали переход к пределу типа $y \to 0+$, как вас просили.


$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{e^{r \cdot {\ln x}}}{x}=\lim_{y \to 0} \frac{y}{e^{r \cdot {\ln y}}}=\lim_{y \to 0} \frac{1}{r \cdot \frac{1}{y} \cdot e^{r \cdot {\ln y}}}}$...

Извиняюсь за близорукость, но я скорее всего не понимаю, что было предложено сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Странная, мягко говоря, задачка. Я ставлю на то, что через Лопиталя вам нужно было получить уравнение $L = r L$. Предлагается ли доказать, кто там сходится, в лоб или ещё как... С этим не знаю, как быть. Я бы плюнул и дальше пошёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение11.07.2020, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
eos93 в сообщении #1473364 писал(а):
Но как доказать, основываясь на производных, что третьего случая нет?
Раз вы используете правило Лопиталя для получения уравнения на предел - нужно доказать его применимость, и тогда существование предела исходного выражения получается автоматически. Чтобы доказать существование предела выражения из правила Лопиталя, продифференцируйте его, и проверьте производную на знакопостоянство (функция с знакопостоянной производной всегда имеет предел в бесконечности).
eos93 в сообщении #1473364 писал(а):
как можно соотнести случаи 1. и 2. к соответствующим значениям $r$.
А тут посчитайте производную всей исходной дроби и посмотрите на её знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение12.07.2020, 01:45 


11/07/20
5
Исходя из очевидности существования производных числителя и знаменателя, правомерно вычислить производную для всех ненулевых значений $x$:
$$\left(\frac{e^{r \cdot \ln x}}{x}\right)^{\prime}=\frac{r \cdot e^{r \cdot \ln x}-e^{r \cdot \ln x}}{x^2}=(r-1) \cdot \frac{e^{r \cdot \ln x}}{x^2}$$
Знакопостоянство дроби и смена знака при переходе через $r=1$ очевидны!

Всем большое спасибо (отдельная благодарность к mihaild и StaticZero), ребят, что нашли время и не обделили мою проблему вниманием - задачка была явно не из интересных, так что любой ваш ответ - это в первую очередь проявление вашей отзывчивости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить предел исключительно с помощью производных
Сообщение12.07.2020, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531

(Оффтоп)

Если сразу понятно, что речь о $x^n$, то какой смысл удовлетворять этим с ёлки рухнувшим требованиям спортивного характера? Превращаете матан чёрт знает во что...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group