Деление на вектор

[Solaris86]

Насколько я понимаю, в математике деление скаляра на вектор не определено: $\mathbf{a}\mathbf{b} = ab\cos\alpha = c$, но
1. $\frac{c}{\mathbf{b}} = \mathbf{a_1}: \frac{c}{b} = a_1\cos\alpha_1$
2. $\frac{c}{\mathbf{b}} = \mathbf{a_2}: \frac{c}{b} = a_2\cos\alpha_2$
...
n. $\frac{c}{\mathbf{b}} = \mathbf{a_n}: \frac{c}{b} = a_n\cos\alpha_n$
$n = +\infty$
Также не определено деление вектора на вектор: $[\mathbf{a}\mathbf{b}] = \mathbf{c}, ab\sin\alpha = c$, но
1. $\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{b}} = \mathbf{a_1}: \frac{c}{b} = a_1\sin\alpha_1$
2. $\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{b}} = \mathbf{a_2}: \frac{c}{b} = a_2\sin\alpha_2$
...
n. $\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{b}} = \mathbf{a_n}: \frac{c}{b} = a_n\sin\alpha_n$
$n = +\infty$

Вопрос такой, если у нас известна величина угла, то неопределённость исчезает и деление на вектор как как скаляра, так и вектора становится возможным?
Спрашиваю вот по какой причине: есть величина плотности тока $j$, величина это векторная, однако её в основном записывают в скалярной форме: $j = \frac{I}{S}$, $S$ - поперечное сечение.
При попытке записать её в векторной форме, возникает вопрос, как это сделать:
а) вариант 1 - создать новую векторную величину $\mathbf{I}= I\mathbf{l}$, где $\mathbf{l}$ - это орт длины, его направление совпадает с направлением тока, тогда формула плотности тока в векторном виде будет выглядеть так: $\mathbf{j} = \frac{\mathbf{I}}{S} = \frac{I\mathbf{l}}{S}$;
б) вариант 2 - воспользоваться существующей векторной величиной $\mathbf{S}= S\mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ - это орт нормали, его направление совпадает с направлением тока, тогда формула плотности тока в векторном виде будет выглядеть так: $\mathbf{j} = \frac{I}{\mathbf{S}} = \frac{I}{S\mathbf{n}}$.
По условию угол между векторами $\mathbf{j}$ и $\mathbf{S}= S\mathbf{n}$ фиксирован и всегда равен 0, $\cos0 = 1$.
Мне кажется, что вариант 2 выглядит более "физично", чем вариант 1, а в нём, как видно, присутствует деление скаляра на вектор с фиксированным известным углом между векторами.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1473200 писал(а):

если у нас известна величина угла, то неопределённость исчезает

Конечно, нет.

[Solaris86]

Someone в сообщении #1473201 писал(а):

Конечно, нет.

Что нет? Неопределённость не исчезает?

[mihaild]

Solaris86 в сообщении #1473203 писал(а):

Неопределённость не исчезает?

Нет. Например, для каких векторов в $\mathbb R^3$ скалярное произведение с $\vec{x}$ равно $1$?

[Red_Herring]

Существует только один сценарий, в котором деление на вектор имеет смысл: это $\mathbb{R}^2$ отождествленное с $\mathbb{C}$ и тогда это деление на комплексное число.

[Solaris86]

mihaild в сообщении #1473205 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1473203 писал(а):

Неопределённость не исчезает?

Нет. Например, для каких векторов в $\mathbb R^3$ скалярное произведение с $\vec{x}$ равно $1$?

При заданном угле - только для одного.

-- 10.07.2020, 18:57 --

Red_Herring в сообщении #1473206 писал(а):

Существует только один сценарий, в котором деление на вектор имеет смысл: это $\mathbb{R}^2$ отождествленное с $\mathbb{C}$ и тогда это деление на комплексное число.

Можете привести пример?

[Dan B-Yallay]

Solaris86 в сообщении #1473210 писал(а):

Можете привести пример?

Вы никогда комплексные числа не делили?

[Walker_XXI]

Вектор плотности тока в Вашем случае можно определить так: $\mathbf{j} = \frac{I}{S}\mathbf{n}$.
Только надо понимать, что это средняя плотность по сечению, а не настоящая плотность тока (сведения о ней теряются при интегрировании, т.к. на самом деле в определении $I$ не просто скалярное произведение, а интеграл по поверхности), применение её ограничено; вектор нормали к поверхности $\mathbf{n}$ - это касательный вектор к "осевой линии провода" (если можно так выразиться) и потому лучше его обозначать по традиции как $\mathbf{l}$. Это с точки зрения физики. Ну а про математику Вам выше пояснили.

[Solaris86]

Dan B-Yallay в сообщении #1473211 писал(а):

Вы никогда комплексные числа не делили?

Я никогда не сталкивался с выражением "$\mathbb{R}^2$ отождествленное с $\mathbb{C}$" и потому хочу понять, что это значит.

[Red_Herring]

Solaris86 в сообщении #1473213 писал(а):

и потому хочу понять, что это значит

Точка $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ отождествлена с комплексным числом $x+yi \in \mathbb{C}$

[StaticZero]

Red_Herring в сообщении #1473206 писал(а):

Существует только один сценарий

А кватернионы с $\mathbb R^4$?

[Solaris86]

Red_Herring в сообщении #1473214 писал(а):

Точка $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ отождествлена с комплексным числом $x+yi \in \mathbb{C}$

Так. Тогда Вы имеете в виду, что длину отрезка $c = \sqrt{x^2 + y^2}$ (координаты концов отрезка $(0;0)$ и $(x;y)$) из $\mathbb{R}^2$ я делю на комплексное число $c = x + yi$ из $\mathbb{C}$ и это и будет деление на вектор?

[StaticZero]

Solaris86, в том смысле, что там вообще определено $(x + iy)^{-1}$.

[Утундрий]

Я бы ограничился вариантом а).

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1473210 писал(а):

mihaild в сообщении #1473205 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1473203 писал(а):

Неопределённость не исчезает?

Нет. Например, для каких векторов в $\mathbb R^3$ скалярное произведение с $\vec{x}$ равно $1$?

При заданном угле - только для одного.

Someone в сообщении #1473201 писал(а):

Конечно, нет.

Даже на плоскости.