Несколько задач по теории меры и мои соображения

[Lister]

Приветствую. Помогите, пожалуйста, разобраться с некоторыми задачами по теории меры. Вот они:

1) Пусть $K$ - канторово совершенное множество. Является ли измеримой (здесь и далее измеримость - по Лебегу, и мера, соответственно, Лебега) функция $f$, равная $0$ в точках $x \in K$ и равная $1$ в точках $x \notin K$? Найти все точки разрыва этой функции. Какого они рода?
Насколько я понимаю, полученная функция измерима и точками ее разрыва являются концы выбрасываемых при построении $K$ интервалов, причем все точки разрыва - первого рода?

2) Пусть $\chi$ - характеристическая функция множества рациональных чисел. Доказать, что функция $f\chi$ измерима на $\mathbb R$ независимо от того, какова функция $f$.
Я рассуждал так: функция $ g = f\chi =$ $ \left\{ \begin{array}{l} 0, x \notin \mathbb Q,\\ f, x \in \mathbb Q, \end{array} \right. $
Функция $g$ равна нулю всюду на $\mathbb R$, за исключением множества тех точек, где $x$ - рационально. Таких точек счетное число, следовательно, функция $g$ непрерывна почти всюду на $\mathbb R$ и, соответственно, измерима. Эти рассуждения верны?

3) Пусть $f$ - функция, определенная на $\mathbb R$. Найти меру графика этой функции на плоскости, если $f$ -
а) непрерывна
б) монотонна
Мне кажется, что в обоих случаях мера будет равна нулю, однако придать рассуждениям формальный характер, к сожалению, не выходит.

Заранее всем огромное спасибо!

[ewert]

1). Измеримо, т.к. выбрасываемое множество открыто (соотв., само канторово -- замкнуто). Разрывы -- все точки канторова мн-ва. Все -- второго рода.

2). Вот если выкинуть слова "непрерывна почти всюду" (они не соответствуют действительности), то да, всё верно. Просто потому, что носитель функции -- счётное множество.

3). У непрерывной функции график имеет нулевую площадь (тем более меру Лебега) -- например, за счёт равномерной непрерывности на каждом ограниченном промежутке. Монотонная функция сводится к непрерывной удалением не более чем счётного набора разрывов.

[Lister]

Cпасибо большое!
Только не совсем понятно в 2), почему функция $g$ не является непрерывной почти всюду, ведь все ее точки разрыва - рациональные точки на действительной оси, их - счетный набор, следовательно, множество точек разрыва данной функции имеет нулевую меру, и она постоянна и равна 0 нулю почти всюду, следовательно, непрерывна.

Если не затруднит - помогите, пожалуйста, еще с одной задачей -
Доказать, что функция $h(x) = f(x)^{g(x)}$ измерима, если $f$ и $g$ - измеримые функции, причем $f(x) > 0$.
Пытался доказать по определению измеримых функций, однако почему-то не выходит его здесь применить. Может, требуется логарифмировать данное выражение?

[ewert]

Lister писал(а):

Cпасибо большое!
Только не совсем понятно в 2), почему функция $g$ не является непрерывной почти всюду, ведь все ее точки разрыва - рациональные точки на действительной оси,

Потому, что у функции Дирихле вообще все точки -- это точки разрыва. Возможно, Вы её путаете с другой функцией (не помню, как по фамилии), у которой в рациональных точках значение есть единица на знаменатель (соотв. несократимой дроби). Там -- да, разрывы только в рациональных точках.

По следующей задаче -- да, надо логарифмировать и использовать непрерывность логарифма.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Возможно, Вы её путаете с другой функцией (не помню, как по фамилии), у которой в рациональных точках значение есть единица на знаменатель (соотв. несократимой дроби). Там -- да, разрывы только в рациональных точках.

Это - функция Римана,а сам Риман - великий немецкий математик, см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD,_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4

[Lister]

Спасибо, теперь ясно.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Это - функция Римана,а сам Риман - великий немецкий математик, см.

вот! это к вопросу о содержательности официальных названий. И сколько же их, этих функций Римана!

[Lister]

Не стал создавать новую тему - возникло еще несколько вопросов:

1) Существует ли на отрезке $[0,1]$ несчетное множество меры нуль, плотное на этом отрезке?
Единственное известное мне несчетное множество меры нуль на отрезке $[0,1]$ - канторово, но оно плотным на этом отрезке никак не является. Может, его надо как-то "модифицировать"?

2) Cуществует ли на отрезке $[0,1]$ неизмеримое множество, плотное на этом отрезке?
Единственное известное мне неизмеримое множество на отрезке $[0,1]$ - множество, в процессе построения которого вводится отношение эквивалентности $x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb Q$. Почему-то мне кажется, что в этой задаче ответ - "нет", но доказать не выходит.
Заранее всем огромное спасибо!

[Someone]

1) "Размножьте" канторово совершенное множество сдвигами на рациональные числа.
2) А почему Вы думаете, что это множество обязательно не является всюду плотным? В конце концов, добавьте к нему счётное всюду плотное множество.

[RIP]

В 1), по-моему, проще объединить рациональные числа и канторово множество. То есть обе задачи решаются совершенно одинаково.

[Lister]

Спасибо. Тот факт, что объединение неизмеримого множества и множества меры нуль также дают неизмеримое множество, мне очевидным не казался.
Еще небольшой вопрос вот по этой задаче -

ewert писал(а):

3). У непрерывной функции график имеет нулевую площадь (тем более меру Лебега) -- например, за счёт равномерной непрерывности на каждом ограниченном промежутке. Монотонная функция сводится к непрерывной удалением не более чем счётного набора разрывов.

То, что график непрерывной функции имеет нулевую площадь - вроде бы, очевидно (собственно, это и требуется доказать), но почему этот факт следует из того, что функция равномерно непрерывна на каждом ограниченном промежутке?

[Brukvalub]

Исходя из т. Кантора, легко доказать, что график непрерывной на отрезке функции может быть покрыт конечным числом прямоугольников, сумма площадей которых сколь угодно мала.

[Lister]

Brukvalub, спасибо.