Помогите разобраться с задачами по геометрии.

[Dmytro Sheludchenko]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста разобраться с задачами по геометрии.Заранее спасибо.Вот задачи:
1.)Докажите, что вершины гиперболы и 4 точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности.Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси.
2.)При каком необходимом и достаточном условии уравнение Ax^2 + By^2+2Cx+2Dy +E=0 задает эллипс.
3.)Найдите уравнение сферы, проходящей через окружность x^2+y^2+z^2-3x+6y+2z-5=0,x-2y-2z+1=0 и касающейся плоскости 2x+2y+z -7=0
4.)Найдите уравнение прямых, по которым поверхность конуса вращения xy+xz+yz=0 пересекается с плоскостью, проходящей через ось и точку (1,2,3).
5.)Найдите прямолинейные образующие поверхности x^2+y^2=2(z^2+1), проходящие через точку (1,1,0).Найдите угол между проекциями образующих на плоскость XOZ.
6.)Найдите общую диаметральную плоскость трех поверхностей 3x^2+4xy+8x+8y-4z=0,x^2+y^2+z^2-4x+6z-3=0,2x^2+2y^2+z^2-10xy+20x-8y+29=0.

[matan]

Dmytro Sheludchenko писал(а):

2.)При каком необходимом и достаточном условии уравнение $Ax^2 + By^2+2Cx+2Dy +E=0$ задает эллипс.

Эту задачу можно решить при помощи инвариантов. Для эллипса определитель матрицы квадратичной части больше 0, а произведение S на определитель всего уравнения меньше 0, где $S=A+B$

[Dmytro Sheludchenko]

Что такое определитель всего уравнения?

[ewert]

Dmytro Sheludchenko писал(а):

Что такое определитель всего уравнения?

Определитель здесь вообще-то не совсем при чём. Имелась в виду матрица, составленная из коэффициентов уравнения, отвечающих слагаемым второй степени (коэффициенты при не чистых квадратах надо при этом уполовинить). В Вашем случае матрица -- диагональна с диагональными элементами A и B.

Так вот: кривая классифицируется собственными числами этой матрицы -- если они одного знака, то это эллипс, разного -- гипербола, если одно из них нулевое -- парабола (возможны, конечно, и вырожденные случаи).

Хотя, возможно, Вам на этом языке и не объясняли. Тогда критерием является знак выражения $4AB-F$, где $F$ -- это коэффициент при $xy$ (которого в Вашем выражении нет). Для эллипсности это выражение обязано быть положительным. Но может задавать и пустое множество или точку. Чтобы проверить, что это именно эллипс, надо выделить полные квадраты по каждой переменной, перенести все константы, кроме квадратов, в правую часть и потребовать, чтобы она оказалась строго положительной.

[matan]

Почитай лекции по геометрии
http://dvoika.net/matem/geom/lekci.pdf

[нг]

Dmytro Sheludchenko
Окружайте, пожалуйста, формулы знаками $:

$a^2+b^2 = c^2$

[Dmytro Sheludchenko]

С задачами № 2,№3 и № 5 разобрался.Помогите,пожалуйста, решить №1,№4и №5.