2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непонятный переход в учебнике матана Фихтенгольца(стр67-68)
Сообщение07.07.2020, 11:49 


26/06/15
74
Добрый день. Разъясните, пожалуйста, такой момент. Читаю учебник Фихтенгольца, стр 67-68, теорема Штольца. Непонятно почему мы уверены, что из возрастания последовательности $y_n $ дробь $\frac{x_n - x_N}{y_n - y_N}$ лежит в указанных границах. Из первоначального допущения это вроде бы не следует, из того факта, что знаменатель этой дроби сумма знаменателей и числитель сумма числителей тоже. Особенно учитывая, что на $x_n$ мы никаких ограничений не накладывали, в отличии от $y_n$.
Сама теорема:

(Оффтоп)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятный переход в учебнике матана Фихтенгольца(стр67-68)
Сообщение07.07.2020, 12:31 


22/06/09
975
Ну запишите что-нибудь типа
$$l_1\leq\frac{a_k}{b_k}\leq l_2$$
для все $k$ (их конечное количество) и докажите отсюда
$$l_1\leq\frac{\sum a_k}{\sum b_k}\leq l_2$$
с учётом того, что все $b_k$ положительны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятный переход в учебнике матана Фихтенгольца(стр67-68)
Сообщение07.07.2020, 15:26 


26/06/15
74
Dragon27 а как такое доказать? Я взял для примера верхнее ограничение, попробовал по индукции - минимум $\leqslant 2l_2$, а не $l_2$. Если разбить на $k$ дробей по $a_k$, тоже ниже чем $\leqslant kl_2$ не получается оценить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятный переход в учебнике матана Фихтенгольца(стр67-68)
Сообщение07.07.2020, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Подсказка: $b_k>0$ позволяет из
$l_1<\dfrac{a_k}{b_k}< l_2$
получить
$l_1 b_k<{a_k}< l_2 b_k$
(у Фихтенгольца неравенства строгие)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятный переход в учебнике матана Фихтенгольца(стр67-68)
Сообщение07.07.2020, 15:36 


22/06/09
975
seraphimt в сообщении #1472747 писал(а):
Dragon27 а как такое доказать? Я взял для примера верхнее ограничение, попробовал по индукции - минимум $\leqslant 2l_2$, а не $l_2$. Если разбить на $k$ дробей по $a_k$, тоже ниже чем $\leqslant kl_2$ не получается оценить.

Там же, вроде, кроме элементарных свойств неравенств (умножение/деление на положительное число, суммирование) больше ничего не нужно. Доказательство практически само собой просится :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятный переход в учебнике матана Фихтенгольца(стр67-68)
Сообщение07.07.2020, 16:04 


26/06/15
74
svv
Dragon27
Спасибо, разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group