Запутанность, тождественность и кластерность

[physicsworks]

(Оффтоп)

Навеяно недавней темой о тождественных частицах.

Ввиду тождественности, состояние двух частиц одного типа (например, двух электронов) всегда запутано, вне зависимости от того, каким расстояниям они разделены. Покажите, что эта запутанность не влияет на результаты экспериментов, проведенных в локальной лаборатории, т.е. что запутанность электрона где-нибудь на Земле с удалённым электроном где-нибудь в другой галактике, не дает наблюдаемого эффекта. Под удаленным состоянием электрона следует понимать такое, что норма вектора, получающегося действием соответствующего оператора на состояние удаленного электрона, пренебрежимо мала.

[chislo_avogadro]

Попробую порассуждать со своей, любительской, точки зрения, не претендуя на "олимпиадное" решение.

Если имеется истинное запутанное состояние, то, естественно, задана его волновая функция.

Условие симметризации волновых функций тождественных частиц не даёт, однако, однозначного квантового состояния.

К примеру, в случае двух электронов это условие, поскольку спиновых базовых состояний четыре, даёт четыре функции. В качестве антисимметричной комбинации базовых состояний берётся синглет, симметричной (при представлении как по ссылке) - триплет https://en.wikipedia.org/wiki/Triplet_state. Эти состояния являются максимально запутанными.

Координатная волновая функция в первом случае должна быть симметричной, во втором - антисимметричной по отношению к перестановке частиц.

Поскольку частицы удалены одна от другой, их координатные волновые функции можно считать неперекрывающимися. Следовательно, "пространственные" (а с ними и общие) вероятности всех 4-х состояний одинаковы, и все вероятности для удалённой частицы надо складывать с одинаковым весом -- 1/4.

Пусть измерение первой частицы дало результат "спин вверх". Проецируя указанные 4 состояния на $\langle{\uparrow}\vert$ и складывая квадраты проекций (т.е. вероятности) с весом 1/4, для удалённой частицы получаем одинаковые вероятности для "спин вверх" и "спин вниз".

(Оффтоп)

Вопрос, почему здесь приходится складывать вероятности, но не амплитуды, вынужден оставить специалистам.

При результате измерения первой частицы "спин вниз", аналогично, все 4 волновые функции проецируются на $\langle{\downarrow}\vert$, с тем же результатом.

Если всё верно, то итог - корреляции в результатах измерений удалённых тождественных частиц отсутствуют.