Лемма о вложенных отрезках из Зорича.

[Eugene567]

Решил детальней разобраться в вопросе существования точки общей для всех вложенных отрезков.
Открываю Зорича (Математический анализ. Том 1. Издание 6-ое. 2012 г.) на стр 81-82 Лемма (Коши-Кантор):
Ссылка на printscreen доказательства:
https://ibb.co/P9VdzFT

Может быть я его неправильно читаю, но мне кажется доказательство не изменит своей логики,
если отрезки заменить на интервалы $(0; \frac{1}{n})$ с некоторыми изменениями ($a_m < b_n$ - заменим на строгое неравенство),
таким образом можно доказать, что у этой системы вложенных интервалов есть общая точка, что неверно.

Меня особенно смущает утверждение, цитирую:
...В частности $a_n \le c \le b_n$ для любого $n \in N$.
Но это и означает что точка $с$ принадлежит всем отрезкам $I_n$.

По-моему тоже самое можно сказать и об интервалах, а именно:
Так как по аксиоме полноты найдется число $c \in \mathbb{R}$, такое что для $\forall a_m \in A, \forall b_n \in B$ выполнено $a_m < c < b_n$.
В частности, $a_n < c < b_n$ для любого $n \in \mathbb{N}.
Но это означает, что точка $c$ принадлежит всем интервалам $I_n$.
То есть получаем неверное утверждение.

Как я понимаю, здесь возникает путаница между двумя понятиями:
1) для всех, как для каждого(любого) выбранного (в частности для каждой выбранной пары $a_n < b_m$)
2) для всех, как для всех вообще

Если рассматривать понятие "для всех", как для каждого выбранного, то да, действительно для любого $n$, найдется $c$ принадлежащая интервалу $(a_n; b_n)$.
Но это не означает, что существует $c$, принадлежащая всем интервалам $I_n$ вообще.

Что вы думаете по этому поводу?

[iifat]

Думаю, вы так лихо поменяли $\le$ на $<$, что получилось неверное доказательство.

[Eugene567]

Я понял в чем я неправ.
Я неправильно понимал аксиому полноты. Я думал аксиома полноты - это что-то типа:
Для любых чисел $a < b$ найдется $c$, такое что $a < c < b$.
Но аксиома полноты - это не про конкретную пару чисел $a, b$, это про пару множеств $A, B$,
таких что для $\forall a \in A, \forall b \in B$, выполняется условие $a \le b$.
И вот для такой пары множеств существует некоторое $c$, что $a \le c \le b$.
Это меняет понимание доказательства.

[gris]

Забавно, что в теореме о конечном подпокрытии (одномерной) нельзя заменить интервалы на отрезки. Месть.