Планиметрический тупик

[syaomyao]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, понять задачу, зашел в тупик.

Тoчкa $M$ - середина сторoны $AC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B$ - прямой, $\angle B=30^o$. На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ такая, что $AD=BC$. Пусть $DP$ - высота треугольника $MBD$. Докажите, что удвоенный периметр треугольника $MDP$ больше периметра треугольника $MDB$.



Медиана равна половине гипотенузы, потому ясно, что треугольник $BMC$ - равносторонний, также треугольник $ABC$ равнобедренный с двумя углами по 30 градусов. В треуольнике $BDP$ с углом в 30 градусов возьмем за $x$ сторону $DP$, тогда сразу получаем $BD=BM=BC=MC=AM=2x$. Дальнейшие действия - не очевидны. Также нашел все изображенные углы. Подскажите, пожалуйста, дальнейшие идеи?

[Dan B-Yallay]

syaomyao в сообщении #1472111 писал(а):

На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ такая, что $AD=BC$.

Сразу бросается в глаза, что на картинке нарисовано другое: $BD = BC$.

[StaticZero]

syaomyao в сообщении #1472111 писал(а):

Докажите, что удвоенный периметр треугольника $MDP$ больше периметра треугольника $MDB$.

Если смотреть на ваш рисунок, то это утверждение кажется фигней несусветной. Ну попробуем порисовать в TikZ. Длины нам всё равно не даны, так что масштаб можно любой поставить.

(Оффтоп)

Форумный TikZ ни на что не способен, вот код, если кто хочет попробовать самостоятельно. Я не смог ничего сделать, он просто не работает.

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}
  \begin{tikzpicture}
  \def\AC{5}
  \coordinate [label=above:$A$](A) at (0, {\AC*cos(30)});
  \coordinate [label=below left:$B$](B) at (0, 0) [anchor=south west];
  \coordinate [label=right:$C$](C) at ({\AC*sin(30)}, 0);
  \coordinate [label=left:$D$](D) at (0, {\AC*(cos(30) - sin(30))});
  \coordinate [label=above right:$M$](M) at ($(A)!0.5!(C)$);
  \coordinate [label=right:$P$](P) at ($(B)!(D)!(M)$);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw [thick, red] (B) -- (M) -- (D) -- cycle;
  \draw [thick, green](D) -- (P) -- (M) -- cycle;
  \end{tikzpicture}
\end{document}

-- 04.07.2020 в 00:59 --

А, ну так у вас всё есть, вам $DM$ надо знать только. Теорема косинусов. Дерзайте. Последний шаг.

[syaomyao]

Спасибо! Смог доказать через неравенство треугольника, вся проблема была в невнимательности)

[StaticZero]

syaomyao, я вам ещё предложу способ, я только трудности испытываю с построением картинки.

[StaticZero]

Задача оказалось гораздо проще, чем я думал, так что предлагать нечего здесь.