О проблеме делителей Дирихле. Доказательство?

[Snef]

Здравствуйте, уважаемые математики!

У меня есть несколько вопросов относительно моей текущей работы
https://dmpyatin.github.io/pdf/paper03072020ru.pdf
по подсчету числа целочисленных точек под гиперболой $\frac{n}{xy},\; 1 \leq x \leq n,\; 1 \leq y \leq n$. Помогите, пожалуйста, разобраться!
В данной работе я рассматриваю расстояние до ближайшей целочисленной точки гиперболы, как равномерно распределенную случайную величину $w_a$:

$$ X = \left\{x_i \;\Big{|}\;\frac{a-i}{a} \right\},\; \mathbb{P}(w_a = x_i) = \frac{1}{a},\;i=1..a,\;\;a \in \mathbb{N}^{*}$$

Можно представить, что:

$$\left \lfloor{\frac{x}{a}}\right \rfloor = \frac{x}{a} - \E[w_a]$$

вместо:

$$\left \lfloor{\frac{x}{a}}\right \rfloor = \frac{x}{a} + O(1)$$

Таким образом с помощью метода гиперболы Дирихле я получаю, что число целочисленных точек (ожидаемое) под гиперболой составляет:

$$D(n) = n \ln{n} + (2\gamma - 1)n + H_{\sqrt{n}} + O(1) $$

со среднеквадратическим отклонением порядка:

$$O\left(\sqrt{\sqrt{n} \ln{\sqrt{n}}}\right) $$

что лучше для больших чисел, чем известная на сегодня ассимптотическая оценка:

$$\Delta(x) = O(x^{\frac{131}{416} + \varepsilon})$$

И даже, больше, я вижу, что:

$$O\left(\sqrt{\sqrt{n} \ln{\sqrt{n}}}\right) = O\left( x^{\frac{1}{4} + \varepsilon}\right) $$

для некоторого очень малого $\varepsilon$. Это из-за того, что скрытая константа в $O$ составляет $\frac{1}{12 \zeta(2)} = \frac{1}{2 \pi^2}$.


Данная оценка среднеквадратического отклонения происходит из того факта, что
ковариация двух случайных величин:

$$Cov(w_a,w_b) = \frac{\gcd(a,b)^2-1}{12 a b}$$

затем дается оценка на НОД:

$$\frac{\gcd(a,b)^2}{ab} \leq \frac{\gcd(a,b)}{a},\; \forall b < a$$

и с помощью свертки Дирихле
получаю, что:

$$\sum_{a=1}^{\sqrt{n}}\sum_{b=1}^{a}\frac{\gcd(a,b)}{a} = \frac{1}{2 \zeta(2)} \sqrt{n} \ln{\sqrt{n}} + O(\sqrt{n}) $$

откуда напрямую выходит оценка дисперсии и среднеквадратического отклонения.

Вопросы:

1)Использовался ли такой подход ранее? Известно ли то, о чем я написал?

2)Является ли данный подход улучшением оценки $\Delta(x)$ из проблеммы делителей Дирихле?
https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_summatory_function#Dirichlet's_divisor_problem
Или ее полным решением? Если да, то как мне можно опубликовать доказательство?

3)Есть ли какая-то взаимосвязь между ассимптотической оценкой
и среднеквадратичным отклонением случайной величины? Мне показалось, что есть.

4)Можно ли дать более точную оценку для суммы:

$$\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{a-1}\frac{\gcd(a,b)^2}{ab}$$

[vicvolf]

Snef в сообщении #1472098 писал(а):

В данной работе я рассматриваю расстояние до ближайшей целочисленной точки гиперболы, как равномерно распределенную случайную величину $w_a$:

$$ X = \left\{x_i \;\Big{|}\;\frac{a-i}{a} \right\},\; \mathbb{P}(w_a = x_i) = \frac{1}{a},\;i=1..a,\;\;a \in \mathbb{N}^{*}$$

Это только предположение. Его надо доказать.

Цитата:

2)Является ли данный подход улучшением оценки $\Delta(x)$ из проблеммы делителей Дирихле?
https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_summatory_function#Dirichlet's_divisor_problem
Или ее полным решением? Если да, то как мне можно опубликовать доказательство?

Метод интересный, но может являться только гипотезой. Доказательство надо проводить другим методом.

Цитата:

3)Есть ли какая-то взаимосвязь между ассимптотической оценкой
и среднеквадратичным отклонением случайной величины? Мне показалось, что есть.

Есть. В общем случае через неравенство Чебышева можно определить вероятность нужной оценки, которая меньше 1.
Поэтому в любом случае данный метод может являться только гипотезой. Доказательство оценки остаточного члена обычно проводится методом комплексного интегрирования https://docviewer.yandex.ru/view/0/?*=z ... 3D&lang=ru

[Snef]

vicvolf
Огромное спасибо Вам за ответ и ссылку!
Как я понял, по неравенству Чебышева отклонение случайной величины от ее матожидания в $k$ стандартных отклонений возможно с вероятностью $\frac{1}{k^2}$
и мы никогда не достигнем нулевой вероятности. Поэтому данный вероятностный метод не подходит для строгого математического доказательства, хоть и согласуется с экспериментом.

[vicvolf]

Snef в сообщении #1472237 писал(а):

Как я понял, по неравенству Чебышева отклонение случайной величины от ее матожидания в $k$ стандартных отклонений возможно с вероятностью $\frac{1}{k^2}$ и мы никогда не достигнем нулевой вероятности. Поэтому данный вероятностный метод не подходит для строгого математического доказательства, хоть и согласуется с экспериментом.

Здесь лучше использовать другую запись неравенства Чебышева: $P(|x-E[x]| \leq k\sigma) \geq 1-1/k^2$. Даже, если вероятность равна 1, то это выполняется только почти всюду, т.е. может являться только гипотезой.

Приведу пример еще одной вероятностной гипотезы о другой сумматорной функции - Мертенса $M(n)=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}$. При определенных предположениях функцию Мертенса можно представить, как симметричное случайное блуждание. На основании теоремы Хинчина для симметричного случайного блуждания выполняется закон повторного логарифма, т.е. с вероятностью равной 1 (почти всюду) асимптотика функции Мертенса - $M(n)=O({n^{1/2}(\log\log(n)})^{1/2})$, что "сильнее" гипотезы Римана (ГР) - $M(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$, где $\epsilon>0$. Почему получилось сильнее ГР? А потому что, как и в Вашей вероятностной гипотезе, было сделано дополнительное предположение.

На самом деле, самая "сильная" асимптотика сумматорной функции (наилучшая асимптотическая оценка сверху у остаточного члена) получается при предположении справедливости ГР Это эквивалентные формулировки ГР, которые получаются методом комплексного интегрирования. Количество делителей Дирихле является также сумматорной функцией, поэтому это относится и к этой функции.

В теме ниже я рассматривал асимптотику сумматорных функции простого аргумента. Для этих функций это также справедливо, т.е наилучшая оценка остаточного члена в асимптотике этих сумматорных функций получается также при предположении справедливости ГР.

[vicvolf]

Аналог закона больших чисел на стр 54 здесь - http://bookre.org/reader?file=567701&pg=54