Биекция прямой на отрезок имеет бесконечно много разрывов

[Профессор Снэйп]

Доказать, что если $f$ --- биекция действительной прямой на отрезок $[0,1]$, то $f$ имеет бесконечно много точек разрыва.

[ewert]

От очень противного. В противном случае [0;1] разбивается на конечное к-во отрезков, на каждом из которых функция монотонна и переводит этот отрезок в некоторый отрезок интервала (0;1), причём последний тоже дизъюнктно покрывается такими отрезками. Тогда не согласуются количества открытых и замкнутых концов отрезков.

[Профессор Снэйп]

Ну да, так оно и есть. Только почему $[0,1]$ разбивается, отображение ведь из $\mathbb{R}$?

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну да, так оно и есть. Только почему $[0,1]$ разбивается, отображение ведь из $\mathbb{R}$?

"Почему (0;1)", Вы хотите сказать. Потому, что так проще думать, а переход к $\mathbb{R}$ очевиден.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Ну да, так оно и есть. Только почему $[0,1]$ разбивается, отображение ведь из $\mathbb{R}$?

"Почему (0;1)", Вы хотите сказать. Потому, что так проще думать, а переход к $\mathbb{R}$ очевиден.

Нет. Я хочу сказать то, что сказал.

ewert писал(а):

В противном случае [0;1] разбивается на конечное к-во отрезков...

Раз у Вас $[0,1]$ разбивается, то я и спрашиваю: почему $[0,1]$, а не $\mathbb{R}$?

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Ну да, так оно и есть. Только почему $[0,1]$ разбивается, отображение ведь из $\mathbb{R}$?

"Почему (0;1)", Вы хотите сказать. Потому, что так проще думать, а переход к $\mathbb{R}$ очевиден.

Нет. Я хочу сказать то, что сказал.

ewert писал(а):

В противном случае [0;1] разбивается на конечное к-во отрезков...

Раз у Вас $[0,1]$ разбивается, то я и спрашиваю: почему $[0,1]$, а не $\mathbb{R}$?

А это с какой стороны глянуть. Коль скоро уж биекция, то "никому ни хвост к собаке, ни собаку к хвосту прицепить не возбраняется" (c) кавалер де Роган.

А задачка мне действительно понравилась. Формулировка звучит провокационно-угрожающе, хотя фактически всё действительно просто.