Пустое множество

[VoprosT]

Не нашёл на форуме внятного разбора моего вопроса,поэтому создаю отдельную тему:
$\forall A \varnothing \subset A$ (буду рад,если в math кто-то научит меня ставить нормальный пробел)
Доказывается от противного,предположим,что импликация неверна(верна посылка,но не следствие), тогда в пустом множестве есть элемент,которого нет в $A$,но в пустом множестве нет элементов,противоречие, ура.

Вопрос: попробуем доказать,что пустое множество не является подмножеством любого множества. Идем снова от противного, тогда $\forall a \in \varnothing a \in \varnothing \Rightarrow a \in A$. И вот какой вывод я должен сделать отсюда, чтобы опровергнуть исходное утверждение(или доказать)?
Или стоило остановиться ещё вначале и понять,что утверждение «не является подмножеством» неверно ровно по тем же причинам, по каким мы доказали это в первом утверждении?

[eugensk]

$\forall A \qquad \varnothing \subset A$
$\forall A \quad \varnothing \subset A$
$\forall A \enspace \varnothing \subset A$
$\forall A \, \varnothing \subset A$
$\forall A \varnothing \subset A$

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

буду рад,если в math кто-то научит меня ставить нормальный пробел

$a\,=\,b$, $a\,\,=\,\,b$ и т. д.

[Mihr]

VoprosT,
если Вы хотите доказать, что пустое множество не является подмножеством любого множества, то должны
1. либо предъявить элемент, принадлежащий пустому множеству, но не принадлежащий какому-то другому множеству.
2. либо доказать, что несуществование такого элемента ведёт к противоречию.

VoprosT в сообщении #1471406 писал(а):

Идем снова от противного, тогда $\forall a \in \varnothing a \in \varnothing \Rightarrow a \in A$. И вот какой вывод я должен сделать отсюда, чтобы опровергнуть исходное утверждение(или доказать)?

Вспоминаем, что любая импликация, начинающаяся с логического нуля, истинна. Значит, истинна и данная импликация. К противоречию мы не пришли. Доказательство от противного не состоялось (что, впрочем, и ожидалось).

[VoprosT]

Тогда выражение $a \in \varnothing \Rightarrow a \notin A$ тоже истинно? А отсюда не следует,что пустое множество не может являться подмножеством? Ни один элемент из пустого не лежит в $A$

eugensk и Markiyan Hirnyk, спасибо за пробелы

-- 30.06.2020, 09:02 --

Mihr в сообщении #1471409 писал(а):

Вспоминаем, что любая импликация, начинающаяся с логического нуля, истинна. Значит, истинна и данная импликация. К противоречию мы не пришли. Доказательство от противного не состоялось (что, впрочем, и ожидалось).

А в утверждении $a \in \varnothing \Rightarrow a \in A$ запрятан ведь квантор «для любого»?(для любого, удовлетворяющего условию)

[Mihr]

VoprosT в сообщении #1471412 писал(а):

Тогда выражение $a \in \varnothing \Rightarrow a \notin A$ тоже истинно?

Да, тоже.

VoprosT в сообщении #1471412 писал(а):

А отсюда не следует,что пустое множество не может являться подмножеством?

Нет, не следует.

VoprosT в сообщении #1471412 писал(а):

Ни один элемент из пустого не лежит в $A$

Только нет такого элемента ("из пустого множества"). И Вы не доказали, что он существует. В том и загвоздка Вашего "доказательства"

-- 30.06.2020, 09:10 --

VoprosT в сообщении #1471412 писал(а):

Здесь же дело не только в импликации, но и в кванторах «для любого» и «существует». Верно?

Да. И что? Когда мы навесили на заведомо истинное утверждение квантор всеобщности, оно не перестало быть истинным, не так ли?

[VoprosT]

Отредачил своё предыдущее сообщение,добавив к нему вопрос про квантор всеобщности.
Кажется,разобрался, квантор $\forall$ запрятан в логических утверждениях, так как имеются в виду «ВСЕ объекты с определенным свойством»
Тогда $A \subset B \Leftrightarrow \forall a \in A \Rightarrow a \in B$ и отрицанием определения будет $\exists a \in A \colon a \notin B$

Правильно ли я понял?(вроде правильно)

[Markiyan Hirnyk]

Аккуратное доказательство можно посмотреть в Н. Бурбаки, Теория множеств, "Мир", М.:-1965, гл. 2, с. 81.

[eugensk]

$\forall a \in A \Rightarrow a \in B$ странно выглядит,

принято записывать $\forall a (a \in A \Rightarrow a \in B)$, или так $\forall a \in A (a \in B)$, с круглыми скобками или без.

[Someone]

VoprosT в сообщении #1471412 писал(а):

А в утверждении $a \in \varnothing \Rightarrow a \in A$ запрятан ведь квантор «для любого»?

Формула со свободными переменными обычно интерпретируется так, будто по всем свободным переменным имеются кванторы всеобщности.Так что ваша формула интерпретируется как $\forall a\forall A(a\in\varnothing\Rightarrow a\in A)$.

[VoprosT]

Всем большое спасибо за помощь!