Тест Коши

[georgtree]

Помогите разобраться в Cauchy Root Test.
Там говорится, что если $ (a_{n})^{1/n}\leqslant r <1$ для существенно больших $n$, c $r$ независимым от $n$, тогда $\sum\limits_{n}{}a_{n}$ сходится.
Но вот возьмем например гармонический ряд, скажем $n=1000$, то мы имеем
$\frac{1}{1000}^{\frac{1}{1000}}<1$ в любом случае, то есть ряд сходится. Но гармонический ряд же расходящийся, в чем загвоздка?

[Mikhail_K]

georgtree в сообщении #1471165 писал(а):

Но вот возьмем например гармонический ряд, скажем $n=1000$, то мы имеем
$\frac{1}{1000}^{\frac{1}{1000}}<1$ в любом случае

Да, для гармонического ряда все $a_n^{1/n}<1$. Но не существует такого $r<1$, что все $a_n^{1/n}$ меньше или равны этого $r$ (а не просто меньше единицы).

[georgtree]

Понял, спасибо!