Унитарная эквивалентность операторов.

[sanyaac432]

Здравствуйте, есть такая задача:
Пусть $A$ -- оператор умножения на $\sin{t}$ в $L^2[0,2\pi]$, а $B$ -- в $L^2[-2\pi,2\pi]$. Необходимо понять, являются ли они унитарно эквивалентными. Я смог найти для $A$ пару векторов $\{1,\cos{t}\}$. Система $\{A^n \cdot 1, A^m \cdot \cos{t}\}$ в своем линейном замыкании плотна в $L^2[0,2\pi]$, то есть это аналог циклического вектора, только их два. Но для $B$ я могу построить подобную систему уже из 4 векторов. Легко понять, что если бы был унитарный изоморфизм, то пара векторов для $A$ должна была бы перейти в пару векторов для $B$. То есть если доказать, что такой пары не существует для $B$ , то это докажет, что они не унитарно эквивалентны. Я пока не понял как это сделать, но понял, что это можно доказать, доказав, что у оператора $A$ не существует циклического вектора. Не знаю, упростил ли я задачу таким образом,. Можно ли доказать, что у оператора умножения на $\sin{t}$ в $L^2[0,2\pi]$ нет циклического вектора? Ну а иначе я уже не понимаю, за что ухватиться в этой задаче.

[novichok2018]

Унитарный - обычно определяется действием в одном пространстве Гильберта, нет?

[thething]

novichok2018
Тут унитарный изоморфизм имеется ввиду, т.е. изометрический изоморфизм $U$ двух (различных) гильбертовых пространств такой, что $UA=BU$.
sanyaac432
Поищите ниже, не так давно была похожая тема.