Наивные вопросы о геометрии R^n

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о геометрии $\mathbb R^n$. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Тело комплекса.

Читаю Александрова, Пасынкова. Введение в теорию размерностей.

Определения, которые нам понадобятся, взяты из этой книги со с. 201.

Комплексом называется множество открытых симплексов.

Напомним, что грань симплекса сама есть другой симплекс. Комплекс открытых симплексов $K$ называется полным, если любая грань любого элемента $K$ сама принадлежит $K$. Я так понимаю, открытая, а не замкнутая, грань, иначе мы вступаем в противоречие с определением комплекса.

Триангуляцией называется полный конечный комплекс, состоящий из дизъюнктных (что это такое? то есть попарно непересекающихся?) симплексов.

Тело симплекса $K$ есть теоретико-множественное объединение $K^*$ всех его элементов.

И вот вопрос. Далее на с. 202 читаем:

Александров, Пасынков писал(а):

Тело всякой триангуляции совпадает с суммой замыканий всех симплексов этой триангуляции.

Что происходит? Под данное выше определению триангуляции на $\mathbb R$ , если я его правильно понял, подходит система из двух открытых непересекающихся промежутков $K = \{(0, 1), (2,3)\}$, которая, очевидно, не удовлетворяет процитированному выше утверждению. (Этот комплекс полон, поскольку у $(0, 1)$ нет открытых граней, отличных от него самого: симплекс с одной вершиной по определению невозможен, поскольку множество из одной точки не является геометрически независимым).

Может быть, авторы имели в виду что-то хитрое под словом "дизъюнктные"? В предметном указателе его нет, и в отсканированной картинкой книге мне не удалось найти, где оно определяется (кажется, оно вообще предполагается уже известным читателю).

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1470460 писал(а):

Может быть, авторы имели в виду что-то хитрое под словом "дизъюнктные"?

Нет, смысл этого слова Вы понимаете верно.

Anton_Peplov в сообщении #1470460 писал(а):

множество из одной точки не является геометрически независимым

Нет, является! Посмотрите определение внимательно. Поэтому, одноточечное множество является открытым симплексом (в смысле определения из данной книги) размерности нуль.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1470460 писал(а):

поскольку множество из одной точки не является геометрически независимым

Почему это вдруг? Одна точка определяет пустое множество векторов, а такое множество векторов линейно независимо. Или Вы можете предъявить линейную комбинацию пустого множества векторов, равную нулю, в которой можно ткнуть пальцем в ненулевой коэффициент? (На всякий случай: сумма пустого множества слагаемых обычно считается равной нулю.)

Anton_Peplov в сообщении #1470460 писал(а):

у $(0, 1)$ нет открытых граней, отличных от него самого

У всякого симплекса есть вершины — нульмерные симплексы. Они тоже считаются гранями (нульмерными, естественно).

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1470464 писал(а):

Одна точка определяет пустое множество векторов

Ага. Вот здесь я и ошибся. Мне казалось, что единственная точка $a_0$ определяет линейно зависимую систему, состоящую из одного нулевого вектора $\overrightarrow{a_0a_0}$. Но сейчас посмотрел более внимательно на определение геометрически независимых точек (там же, с. 191): требуется, чтобы линейно независимыми были векторы $\overrightarrow{a_0a_1} \dots \overrightarrow{a_0a_k}$. Вектор $\overrightarrow {a_0a_0}$ не может быть построен по этому определению (и не должен быть, т.к. его присутствие делало бы систему линейно зависимой, какие бы ещё векторы в неё не входили).

Спасибо!

(Оффтоп)

Когда я имел на изучение математики больше времени, я каждую теорему разбирал по косточкам, смотрел предельные случаи, искал контпримеры к ослаблению её условий и т.д. И продвигался со скоростью беременной черепахи. Теперь у меня на такую роскошь времени нет, и, казалось бы, движение должно стать быстрее. Так вот же, тут же начал спотыкаться о нерассмотренные предельные случаи. Эй, я не претендую на царскую дорогу, но можно хотя бы что-то асфальтированное? :(