Предел бесконечной суммы

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Хотелось бы помощи в вопросе:
каковы условия на $f_n(z)$ для выполнения

$$\lim_{z\to+\infty} \sum _{n=0}^{\infty } f_n(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim_{z\to+\infty} f_n(z).$$

Навеяно из

$$\lim_{z\to+\infty}\sum _{n=0}^{+\infty } \frac{8 z}{\pi ^2 (2 n+1)^2+4 z^2}=\lim_{z\to+\infty} \tanh(z)=1$$

С другой стороны

$$\sum _{n=0}^{+\infty } \lim_{z\to+\infty}\frac{8 z}{\pi ^2 (2 n+1)^2+4 z^2}=0.$$

Ряд $\lim_{z\to+\infty}\sum _{n=0}^{+\infty } \frac{8 z}{\pi ^2 (2 n+1)^2+4 z^2}$ сходится абсолютно и равномерно, конечно кроме полюсов tanh-са.
Мне осталось непонятным, как для любого другого хоть сколь угодно большого $z$ предел данной суммы равен сумме пределов, а в бесконечности нет. Может это связано с тем, что
$z=\infty$ является предельной точкой полюсов?

[vpb]

TelmanStud в сообщении #1470208 писал(а):

каковы условия на $f_n(z)$ для выполнения

Достаточное условие того, что предел и сумму можно переставить --- равномерная сходимость ряда функций в окрестности заданной точки (в том числе и бесконечной). См. любой учебник матана. Курите их (учебники) --- и будет щастье.

[TelmanStud]

vpb
спс

[vpb]

TelmanStud
пжлст. Кшт бз хлб.

[Otta]

Немного в сторону от вопроса. В предельной точке полюсов и предел функции считать не выйдет. Тут Вас спасает то, что предел считается вдоль вещественной оси, а полюса чисто мнимые.