Равномерная сходимость --- забавная лемма

[AD]

Забавная лемма, обобщающая известное утверждение о равномерном пределе непрерывных функций. Хочется, чтобы форумчане проверили (всё вроде бы просто, но вдруг я где-то что-то в кванторах напутал), и порадовались, если всё правильно, а если неправильно - то вместе еще подумаем.
_________________

ЗАБАВНАЯ ЛЕММА. Пусть $X$ и $Y$ --- метрические* пространства, $f_n\colon X\to Y$, $n\in\mathbb{N}$, $f\colon X\to Y$, $f_n\rightrightarrows f$ на $X$ при $n\to\infty$, и для любой точки $x\in X$ бесконечно много функций $f_n$ непрерывны в $x$. Тогда $f$ непрерывна на всём $X$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое $\varepsilon>0$, и найдем такое $M\in\mathbb{N}$, что $\rho(f_m(t),f(t))<\varepsilon/3$ при всех $m>M$ и $t\in X$. Теперь зафиксируем любую точку $x\in X$, и найдем такое $N>M$, чтобы $f_N$ была непрерывна в $x$. Существует такое $\delta>0$, что $\rho(f_N(x),f_N(y))<\varepsilon/3$ при** $y\in B_\delta(x)$. Но тогда при $y\in B_\delta(x)$ имеем $\rho(f(x),f(y))$ $\le$$\rho(f(x),f_N(x))+\rho(f_N(x),f_N(y))+\rho(f_N(y),f(y))$ $<$ $\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3$ $=$ $\varepsilon$. $\square$
_________________
* Может быть, верно и для этих, как их там, равномерных пространств, если бы я знал, что это такое ...
** $B_\delta(x)$ --- это $\delta$-окрестность точки $x$.

[Henrylee]

По-моему, все верно.

[Brukvalub]

Henrylee писал(а):

По-моему, все верно.

Все, кроме вот этой очепятки:

AD писал(а):

$...+\rho(f_N(y)-f(y))$ $<...$.

[Henrylee]

Ну да, да

[ewert]

Чего-то лень в эпсилондельты вникать. А что, если так попробовать.

Непрерывность равномерного предела непрерывных функций -- это ведь факт поточечный. Т.е. если все функции последовательности непрерывны в данной точке, и при этом равномерно сходятся к некоей функции, то и предельная функция непрерывна в этой точке.

Ну теперь в каждой точке предельная функция по подпоследовательности есть равномерный предел непрерывных функций и, следовательно, непрерывна. Финиш.

В чём я неправ?

[MaximKat]

ewert
Так это то же самое что AD написал и выходит

[ewert]

Допустим (я ж говорю, лень вникать); но зачем так долго?

[MaximKat]

И там и там 4 строчки
Зато формальное доказательство значительно надежнее

[ewert]

а у меня что, не формальное, что ли?

[Brukvalub]

Заценю и я. У ewertа доказательство, на мой вкус, существенно изящнее. Но сам факт подметил AD, при этом он, видимо, смотрел, где можно ослабить требования классической теоремы так, чтобы сохранить ее схему доказательства. Именно благодаря такому подходу ADу и удалось найти указанное им усиление формулировки. Так что трудно сказать, от какого рассуждения большая польза.

[AD]

Спасибо!
Очепятку исправил.

Добавлено спустя 12 минут 57 секунд:

Мне тоже подход ewertа кажется более убедительным. По крайней мере, он объясняет, что утверждение, вроде бы, действительно верно.

Добавлено спустя 57 секунд:

От $X$ ведь даже достаточно структуры топологического пространства.

Добавлено спустя 16 минут 19 секунд:

Вопрос этот возник вот из каких соображений. Возьмем на отрезке функцию, имеющую, скажем, счетное число разрывов первого рода, и будем эти разрывы последовательно из неё "вычитать". Ну, например, как монотонную функцию разлагают в непрерывную и функцию скачков. Как проще всего доказать, что в результате получится непрерывная функция?

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

В смысле это я не спрашиваю, это уже теперь решенный вопрос.

Добавлено спустя 8 минут 14 секунд:

Наверное, можно и до такого утверждения добрести: при равномерной сходимости $f_n\rightrightarrows f$ множество точек непрерывности предельной функции $f$ содержит верхний предел множеств точек непрерывности $f_n$. Идея такая: выкидываем из нашего пространства $X$ все точки, не попавшие в верхний предел, и на оставшемся пространстве применяем лемму. Только она неправильная, эта идея. Потому что мы так получим непрерывность только по подпространству, а не по всему пространству.