2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 (Не)открытое множество
Сообщение18.06.2020, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1442
Антарктика
Добрый день. Подвернулась задача: исследовать на открытость множество $S=\left\lbrace f\in L_2[0,1]:\;\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{|f(x)|}{\sqrt x}dx<1\right\rbrace$. Пытался проверить открытость по определению: не получается согласовать интеграл от квадрата модуля, стоящий в определении шара и интеграл, стоящий в определении $S$. По той же причине не получается проверить непрерывность отображения $\varphi(f)=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{|f(x)|}{\sqrt x}dx$.

Думал подобрать последовательность, элементы которой не лежат в множестве, но которая сходится к элементу множества (хотел сходимость к нулю), но тут тоже: какие бы примеры ни рассматривал -- или последовательность лежит в множестве и сходится к нулю, или не лежит, но и к нулю не сходится. Рассматривал разные варианты индикаторов с множителями, зависящими от $n$. Может кто-нибудь помочь, куда тут вообще думать-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)открытое множество
Сообщение18.06.2020, 19:14 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Открытость означала бы, что функция $\frac{1}{\sqrt{x}}$ лежит в сопряженном пространстве (ибо у нуля была бы цельная окррестность наподобие шара, там же лежащая, что и дает ограниченность соответствующего функционала), а она там не лежит....
Ну, или посмотреть на функцию $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(\ln\frac{2}{x})^{\frac{3}{4}}}$, типа....

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)открытое множество
Сообщение18.06.2020, 19:19 
Заслуженный участник


18/01/15
3312
Дык, оно и неверно. В смысле, множество это не открыто. Корень смущает, наверное. Заметьте, что существуют функции $f$, интегрируемые на $[0,1]$, равные нулю на $[0, 1/2]$ (чтобы корень не мешал), но не интегрируемые с квадратом на $[0,1]$.

(уже ответили, пока я писал...)

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)открытое множество
Сообщение18.06.2020, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1442
Антарктика
DeBill, vpb
Я отсутствие открытости и подозревал, примеры подбирал... Но, видимо, слишком простые. Хотя, до примера с логарифмом можно было и догадаться. Спасибо большое!

Только я не очень понял насчёт сопряжённого пространства, тут же не линейный функционал...

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)открытое множество
Сообщение18.06.2020, 20:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
thething в сообщении #1469492 писал(а):
тут же не линейный функционал...

Ну, если модуль убрать - будет линейный...
vpb в сообщении #1469484 писал(а):
но не интегрируемые с квадратом на $[0,1]$.

Корень - как раз важен. Если множитель под интегралом - ограничен, открытость будет....

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)открытое множество
Сообщение18.06.2020, 22:38 
Заслуженный участник


18/01/15
3312
DeBill в сообщении #1469493 писал(а):
Корень - как раз важен. Если множитель под интегралом - ограничен, открытость будет...
Да, это у меня тово, шарики за ролики :oops: Старею, что ли...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group