Добрый день. Подвернулась задача: исследовать на открытость множество
![$S=\left\lbrace f\in L_2[0,1]:\;\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{|f(x)|}{\sqrt x}dx<1\right\rbrace$ $S=\left\lbrace f\in L_2[0,1]:\;\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{|f(x)|}{\sqrt x}dx<1\right\rbrace$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd1127cbf6ecf22c33349e567244c56f82.png)
. Пытался проверить открытость по определению: не получается согласовать интеграл от квадрата модуля, стоящий в определении шара и интеграл, стоящий в определении

. По той же причине не получается проверить непрерывность отображения

.
Думал подобрать последовательность, элементы которой не лежат в множестве, но которая сходится к элементу множества (хотел сходимость к нулю), но тут тоже: какие бы примеры ни рассматривал -- или последовательность лежит в множестве и сходится к нулю, или не лежит, но и к нулю не сходится. Рассматривал разные варианты индикаторов с множителями, зависящими от

. Может кто-нибудь помочь, куда тут вообще думать-то?