Система счисления А.П. Стахова - перспективы

[Alik]

Для ознакомления с предлагаемой системой счисления предлагается почитать следующие материалы:
"Компьютеры Фибоначчи и новая теория кодирования"
http://pitis.tsure.ru/files18/p5.pdf
Троичный принцип Брусенцова, система счисления Бергмана и «золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика
http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320001.htm

Интересно рассмотреть эту систему счисления в следующих аспектах:

1) Сравнить ее с классической троичной уравновешанной. Другими словами выявить преимущества и недостатки обоих.
2) Привести практическую блок-схему для коррекции ошибок в системе GMSB (golden mean square based) счисления А.П. Стахова
3) Учесть некоторые специфические характеристики этой системы как то:
* самоподобие золотой пропорции (само-рекуррентное выражение)
* возведение ее в большую четную степень дает "почти" целые числа
подробнее: http://www.oleg.314159.ru/index.htm
4) Рассмотреть семейство характеристических квадратных уравнений, приводящих к подобным системам счисления, для этого изучить:
«Металлические Пропорции» Веры Шпинадель
http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320029.htm
а также
"Теория формул Бине для р-рядов Фибоначчи и Люка"
http://pitis.tsure.ru/files21/10.pdf
5) Собрать работы Рамануджана, посвященные золотому сечению. Известно, что этот великий индийский математик был увлечен этим числом (как впрочем и числом Пи) и вывел несколько замечательных формул. Теория для этого разбросана и нигде не излагается полностью. Я могу выложить изданные не так давно "Записные книжки Рамануджана" с комментариями (на англ. языке). Привожу две формулы для 6-ой и 12-ой степеней золотой пропорции:

[бобыль]

Помогите ответить на один вопрос.

Вот известное рекуррентное уравнение x(n) = x(n-1) + x(n-2), в силу которого x(n)/x(n-1) сходится по n к золотой пропорции 1.618... . При x(1) = 1 и x(2) = 2 получаем последовательность Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13... При x(1) = 1 и x(2) = 3 получаем последовательность Луки (Лукаса) 1, 3, 4, 7, 11... Других таких ИМЕННЫХ последовательностей я не знаю. Спрашивается, чем замечательны эти две последовательности, чтобы заслужить имена? Ну, последовательность Фибоначчи замечательна хотя бы тем, что связана с разложением золотой пропорции в цепную дробь. Хорошо, допустим. А последовательность Луки?

[Alik]

Цитата:

Ну, последовательность Фибоначчи замечательна хотя бы тем, что связана с разложением золотой пропорции в цепную дробь. Хорошо, допустим. А последовательность Луки?

Эти две последовательности назвали по именам людей, которые привлекли к ним внимание и проанализировали. Причем название "последовательность Фибоначчи" предложил Лукас. Достаточно скромный был товарищ, надо сказать.
Возможно другие последовательности, имеющие квадратное характеристическое уравнение назовут "де Шпинадель" - пока не понятно.
Аппарат цепных дробей для аппроксимации золотого сечения стали применять позже и там масса интересных вещей. Вот ссылки:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_sequence
http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
http://mathworld.wolfram.com/ParisConstant.html
http://mathworld.wolfram.com/NestedRadical.html
http://assets.cambridge.org/052181/8052 ... 8052ws.pdf

Я пытаюсь обсуждать иррациональность в несколько другом аспекте на соседнем форуме "математика". Вы наверное уже просматривали топик - "работы Рамануджана"

[alex649]

Лет 10-15 назад попалась статья чья и откуда - не помню, тогда не актуально было !!! - об прогнозировании 0/1 в случайной последовательности с использованием золотого сечения. Идея была с разложением номера элемента последовательности + ??? Если кто-то встречал что-то подобное - засветите плз ...

[Alik]

К сожалению оригинальной статьи я не видел. Но если она была на русском, то есть подозрение, что ее автор Стахов или кто-то из его учеников, допустим Азаров или Лужецкий.

Если предположение правильное, то стаховский сайт это:
www.goldenmuseum.com
Лужецкого-младшего я отыскал только здесь
http://sec.pmg17.vn.ua/lujetsky/stat/

[бобыль]

Спасибо, я просмотрел всю серию из пяти ссылок, но все-таки не понял, чем же замечательна последовательность именно Луки? Зачем выделять ее помимо последовательности Фибоначчи? Чем она математически интереснее безымянной последовательности, например, стартующей с x(1) = 1 и x(2) = 4 или 5?

[Alik]

Я не склонен обсуждать философский аспект слова "замечательная". Для этого есть другие разделы и топики. Дело то просто в устоявшемся названии, традиции, если хотите. Вот в России например теорему Найквиста называют теоремой Котельникова. Зарубежом наборот. И никто из потомков этих ученых пока не обратился в суд по поводу авторских прав.

[бобыль]

Философия тут не при чем. Не будем говорить ни об истории, ни об именах вообще. Вот две последовательности:

1, 2, 3, 5, 8, 13, ... и 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...

Первая из них "замечательна" тем, что естественным образом возникает из разложения золотой пропорции в цепную дробь. А вторая, как я понимаю (?), не возникает. Но, быть может, вторая "замечательна" тем, чего нет у первой?

[Alik]

Цитата:

А вторая, как я понимаю (?), не возникает.

Предельное отношение последующего члена последовательности Лукаса к предыдущему тоже дает золотое сечение. Другими словами есть несколько видов цепных дробей для фи, вот одна
http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_section
а вот вторая
http://milan.milanovic.org/math/english/pi/pi.html
Помимо этого с помощью последовательности Лукаса можно получить фи квадрат, куб и т.д.
http://milan.milanovic.org/math/english ... lucas.html
http://milan.milanovic.org/math/english ... onacci.pdf
То есть эта последовательность более "универсальна", хотя мне на самом деле более интересны вот такие "замечательные" свойства
http://milan.milanovic.org/math/english ... ber_e.html
http://mathworld.wolfram.com/ParisConstant.html

[бобыль]

Alik писал(а):

Помимо этого с помощью последовательности Лукаса можно получить фи квадрат, куб и т.д.
http://milan.milanovic.org/math/english ... lucas.html
http://milan.milanovic.org/math/english ... onacci.pdf
То есть эта последовательность более "универсальна"...

В том-то и дело, что я никак не могу понять, чем это она "более универсальна"... Вот и в случае с фи квадрат, куб и т.д. эти величины с тем же успехом можно получить и с помощью последовательности Фибоначчи. Кстати, а какой вид, чтобы не пыхтеть мне самому, имеют цепные дроби фи квадрат, куб и т.д.?

[Alik]

Среди моих закладок их нет, а прежде чем искать хотелось бы узнать зачем они вам?

Цитата:

...эти величины с тем же успехом можно получить и с помощью последовательности Фибоначчи...

можно посмотреть как? (дайте ссылку)

P.S. в MatLab есть разложение в цепную дробь:
http://www.mathworks.com/access/helpdes ... f/rat.html
вот on-line калькулятор (не работает)
http://archives.math.utk.edu/articles/a ... qi2cf.html
но для тех, кто не хочет "пыхтеть" есть работающий
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R. ... fCALC.html
любопытно взглянуть также на
http://www.personal.psu.edu/users/m/d/m ... hmetic.htm
http://archives.math.utk.edu/articles/a ... qi2cf.html
http://perl.plover.com/yak/cftalk/

[бобыль]

Спасибо, посчитал немножко на калькуляторе...

Цитата:

...эти величины с тем же успехом можно получить и с помощью последовательности Фибоначчи...

можно посмотреть как? (дайте ссылку)

Чтобы получить в пределе фи, нужно взять отношение соседних чисел Фибоначчи. Чтобы получить в пределе фи-квадрат, нужно взять отношение чисел Фибоначчи через одно. Чтобы получить в пределе фи-куб, нужно взять отношение чисел Фибоначчи через два. Ну и т.д. Кстати, числа Лукаса легко выражаются через Фибоначчи, типа L(n) = F(n-1) + F(n+1). Я смотрю, Вы довольно продвинуты в этих вопросах, поэтому Вам все это тривиально, конечно.

Цитата:

Среди моих закладок их нет, а прежде чем искать хотелось бы узнать зачем они вам?

Почему я все время спрашиваю о своеобразии чисел Лукаса? Например, потому, что однажды я обнаружил их на небе, именно их, Лукаса, а не Фибоначчи. Почему это, я объяснить не могу. Вот полюбуйтесь:

http://cosmicqueries.freehomepage.com/.

Там же есть неплохая ссылка на числа Лукаса.

[Alik]

Цитата:

...Вы довольно продвинуты в этих вопросах, поэтому Вам все это тривиально, конечно.

Я, к сожалению (или к счастью), не математик, а инженер.
Хотя это тоже звучит гордо, особенно на английском языке...

Цитата:

http://cosmicqueries.freehomepage.com/

В связи с указанным обстоятельством, я практически ничего не понял из Ваших наблюдений в астрономии.
А числами Фибоначчи я занялся около года назад, когда выяснилось, что у них есть очень интересные перспективы в электронике. Есть такая классическая книжка "Искусство схемотехники", вот этого названия и должен придерживаться инженер. Как известно, у нас в эфире и даже в проводах встречается синус и остальная тригонометрия, поэтому сейчас читаю про
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi7.html
http://mathworld.wolfram.com/NestedRadical.html

[бобыль]

Возможно, Вам как инженеру будет интересна книга "Фракталы, хаос, степенные законы", написанная инженером-акустиком.

http://lib.mexmat.ru/books/7001.

Лично я узнал про серебряное сечение именно из нее, хотя использовал его давно, не подозревая об этом. В ней, правда, всякое иррац. число с цепным разложением из одного и того же n > 1 называется серебряным сечением...

[бобыль]

Я прочитал, что числа Лукаса в каком-то смысле двойственны числам Фибоначчи и поэтому необходимы. Но в каком смысле, я не понял...