Цепи Маркова

[MaximKat]

В книге "Задачи по теории вероятностей (Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г., 1986)" есть следующая задача:

В начальный момент времени в урне $n_0$ белых и $m_0$ черных шаров. Через каждую единицу времени из урны по схеме выбора без возвращения извлекается один шар. Пусть $n_k$ – число белых, а $m_k$ – число черных шаров в урне в момент времени $k$. Образует ли последовательность $n_k+m_k$ цепь Маркова?

Ответ на эту задачу указан - "нет". Разве это правильно? $n_k+m_k=n_0+m_0-k$ с вероятностью $1$. Т.е. распределение на шаге $k$ не зависит даже от значения на текущем шаге, а не только на предыдущем.
Глюк у меня или в ответе?

[Михаиль]

разве не должно быть в цепи Маркова - что вся информация о прошлом хранится настоящем, т.е. нынешнее значения должно зависить от предыдущего.

[Henrylee]

MaximKat писал(а):

В начальный момент времени в урне $n_0$ белых и $m_0$ черных шаров. Через каждую единицу времени из урны по схеме выбора без возвращения извлекается один шар. Пусть $n_k$ – число белых, а $m_k$ – число черных шаров в урне в момент времени $k$. Образует ли последовательность $n_k+m_k$ цепь Маркова?

Ответ на эту задачу указан - "нет". Разве это правильно? $n_k+m_k=n_0-m_0-k$ с вероятностью $1$.

Ну все-таки наверно $n_k+m_k=n_0+m_0-k$


Думаю, опечатка. Может имелась в виду последовательность $n_k-m_k$?

[PAV]

В ответе ошибка. В данном условии последовательность сумм полностью детерминированная и является цепью Маркова (независимость не нарушает определения). Возможно, автор задачи имел в виду что-то другое, но плохо сформулировал.

[MaximKat]

Должно быть, что если $P\{\xi_{k-1}=x_{k-1},\dots,\xi_0=x_0\}>0$, то $P\{\xi_k=x_k|\xi_{k-1}=x_{k-1},\dots,\xi_0=x_0\}=P\{\xi_k=x_k|\xi_{k-1}=x_{k-1}\}$. В данном случае получается, $P\{\xi_k=x_k|\xi_{k-1}=x_{k-1},\dots,\xi_0=x_0\}=P\{\xi_k=x_k\}$$=P\{\xi_k=x_k|\xi_{k-1}=x_{k-1}\}$

[Henrylee]

Михаиль писал(а):

разве не должно быть в цепи Маркова - что вся информация о прошлом хранится настоящем, т.е. нынешнее значения должно зависить от предыдущего.

Да нет, не обязано зависеть. Незаисимые с.в. тоже образуют цепь Маркова.

[PAV]

Henrylee писал(а):

Думаю, опечатка. Может имелась в виду последовательность $n_k-m_k$?

Эта последовательность тоже будет цепью Маркова (неоднородной).

[MaximKat]

Henrylee писал(а):

Ну все-таки наверно $n_k+m_k=n_0+m_0-k$

а я что написал?

Henrylee писал(а):

Думаю, опечатка. Может имелась в виду последовательность $n_k-m_k$?

там несколько пунктов. $n_k-m_k$ тоже есть и на все остальные, кроме суммы, ответ - "да"

Добавлено спустя 2 минуты 10 секунд:

PAV, Henrylee
спасибо, я в принципе так и понял, но ТВ было давно, а преподаватель как-то на меня косо посмотрел, когда я пытался доказывать и выдал что-то типа "Прохоров очень умный товарищ, так что вы все напишите, а я как-нибудь потом посмотрю, но что-то не верится..."

[PAV]

Может быть, автор задачника и вправду считает, что детерминированная последовательность не является цепью Маркова?

[MaximKat]

PAV писал(а):

Может быть, автор задачника и вправду считает, что детерминированная последовательность не является цепью Маркова?

А кто ж его знает? Но определение там такое, как я выше написал, т.е. вроде подходит и детерминированная

[Henrylee]

MaximKat писал(а):

Henrylee писал(а):

Ну все-таки наверно $n_k+m_k=n_0+m_0-k$

а я что написал?

MaximKat писал(а):

$n_k+m_k=n_0-m_0-k$ с вероятностью $1$

[MaximKat]

Henrylee
А разве это неверно?

[Henrylee]

MaximKat писал(а):

Henrylee
А разве это неверно?

Я про минус между $m_0$ и $n_0$

[MaximKat]

А... тьфу
конечно, спасибо

[PAV]

Наверное, просто опечатка в ответе.