Фальтингс и (1+y^2)^2/y^2 = (i^2*x^2+1)*(i^2+x^2)/i^2/x^2

[Volik]

Доброго всем дня. Из предыдущей темы я взял сечение поверхности $ \frac{(1+y^2)^2}{y^2}=\frac{(1+i^2 x^2) (i^2+x^2)}{i^2 x^2}$ при произвольном рациональном i.
Maple дает для нее род равный 5.По теореме Фальтингса число рациональных точек на ней конечно. Восемь из них очевидны $x=\pm 1, y= \pm i, y=\pm 1/i$
1) Существуют ли на ней рациональные точки при $x \neq\pm 1$?,
2) Можно ли доказать что их нет?,
3) Можно найти алгоритм поиска пар рациональных x и i, таких, что y будет алгебраическим числом второй степени?
При произвольных рациональных x и i, y алгебраическое число четвертой степени. Я могу привести много таких пар, но все они взяты из известных параллелепипедов с одной иррациональной диагональю.
Понимаю, что x и i должны обеспечить приводимость исходного полинома от y, но не могу этого добиться!
Заранее всем благодарен.

[Коровьев]

Поскольку приведённое уравнение является до сих пор не решённым уравнением совершенного параллелепипеда в рациональных числах с начальными данными
$$\[ a = \frac{{1 - z^2 }}{{2z}} \]$

$$b=1$

$$\[ d_{bc} = \frac{{1 + x^2 }}{{2x}} \]$

$$\[ d_{abc} ^2 = \left( {\frac{{1 - z^2 }}{{2z}}} \right)^2 + \left( {\frac{{1 + x^2 }}{{2x}}} \right)^2 = \left( {\frac{{1 + y^2 }}{{2y}}} \right)^2 \]$ по условию,

то все поставленные вопросы пока не имеют смысла.

[Volik]

И на том спасибо!