как доказать тождество

[Boris Skovoroda]

Вычисляя математическое ожидание точечной оценки, получил тождество $\sum\limits_{i=0}^{n}{(-1)^i\frac{1}{2i+1}C_n^i=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}}. Как его доказать? Может быть, кто-нибудь подскажет или даст ссылку? MAXAL, простите, что спрашиваю в вашей теме.

Отделено от темы Комбинаторные тождества // maxal

[nnosipov]

Boris Skovoroda в сообщении #1467158 писал(а):

Как его доказать?

Напишите, что оно очевидно. Или в справочнике найдите. (Что-то оно не производит впечатление чего-то хитрого. Я бы попробовал доказать его по индукции. Или можно заметить, что $(2i+1)^{-1}$ есть интеграл от $x^{2i}$ по отрезку $[0,1]$.)

Ну да, очевидно.

[Boris Skovoroda]

nnosipov в сообщении #1467159 писал(а):

Ну да, очевидно.

Спасибо, nnosipov. Для меня не очевидно, но я понял, как это тождество доказать.

[nnosipov]

Boris Skovoroda
Через интеграл? У меня так.

[novichok2018]

Boris Skovoroda - можно взять бином с иксом в нужной степени, проинтегрировать сумму, и потом убрать икс.

[Boris Skovoroda]

Спасибо, novichok2018. Можно считать, что я так и сделал.
Записал равенство $(1-x^2)^n=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^ix^{2i}.$ Потом проинтегрировал на отрезке от 0 до 1.