Преобразование выражения с интегралом

[SomePupil]

Вопрос касается эквивалентного преобразования, сделанного в процессе решения системы интегральных уравнений в этой статье (стр. 5-6).

Рассматривается система сингулярных интегральных уравнений относительно $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0,$ одно из уравнений которой имеет следующий вид.

$$\frac 2{ \sqrt{3} } ( \alpha_0(t)+\sqrt{3}\alpha_1(t))+\frac1{ \sqrt{3} } \beta_0(t) - \frac 1\pi \int_0^T\left( \frac {\tau}{t}\right)^{2/3} \frac{\beta_0(\tau)}{\tau-t}d\tau = \frac {d}{dt} \int_0^t \frac{\Phi_0(\tau)}{ (t-\tau)^{2/3} }d\tau\;.$$

Член $\Phi_0(t)$ можно считать достаточно гладким. Утверждается, что из этого уравнения вытекает следующее условие.

$$-\frac 1\pi \int_0^T \frac{ \beta_0(\tau) }{ \tau^{1/3} }d\tau = \Phi_0(0).$$

Тут возникает вопрос, как оно получено $-$ я еще не разобрался. Видимо, подынтегральные выражения как-то домножаются на $t^{2/3},$ и затем производится подстановка $t = 0$.
Но основной вопрос не в этом. Исходное выражение, по утверждению авторов, эквивалентно преобразуется в следующее выражение.

$$\frac2{ \sqrt{3} }( \alpha_0(t) + \sqrt{3} \alpha(t)) + \frac1{ \sqrt{3} } \beta_0(t) - \frac1{\pi} \int_0^T \left( \frac{t}{\tau}\right)^{1/3} \frac{ \beta_0(\tau) }{ \tau - t }d\tau = 3\Phi'_0(0)t^{1/3}+F_0^0(t).$$

$$F_0^0(t) = \int_0^t \frac{ \Phi'_0(\tau) - \Phi'_0(0) }{(t-\tau)^{2/3}}d\tau.$$

Мне неясен переход от исходного выражения к заключительному. Указано, что при переходе используется приведенное выше условие. Трудность в том, что интеграл в правой части уравнений нельзя напрямую преобразовать по формуле Лейбница.

-- 11.06.2020, 10:57 --

И да, интеграл зависит от поведения $\Phi_0(\tau)$ на концах $\tau = 0$ и $\tau = t.$ Можно считать его сколь угодно хорошим.

[SomePupil]

Кое-что нашел! Это, оказывается, дробная производная, крайне странная вещь, по крайней мере, для меня сейчас. Странно, что в процитированной статье об этом ни слова, ни в списке литературы, ни в основном тексте. Мозг вышел на это понятие интуитивно-подсознательно, основываясь на скудном опытишке моих бренных лет.