Раскладываем главное значение логарифма в ряд Лорана?

[Pulseofmalstrem]

Добрый день, столкнулся с тем, что упорно не понимаю, почему нельзя поступить следующим образом.

Рассмотрим главное значение логарифма как функцию комплексной переменной, определенную следующим образом:
$\ln z=\ln re^{i\varphi}=\ln r+ i\varphi$.
Данная функция голоморфная в некотором кольце $C=\left\lbrace z \in \mathbb{C} : 0 < r < z < R <\infty\right\rbrace$. Тогда для этой функции выполняются условия теоремы Лорана, а потому она должна раскладываться в ряд по положительным и отрицательным степеням $z$ (поскольку нуль - это существенно особая точка, то ожидается наличие бесконечного числа отрицательных степеней в разложении). Вычислим коэффициенты этого ряда. Для этого будем действовать точно также как в доказательстве теоремы о ряде Лорана. Так как
$2\pi i \ln z = \oint\limits_{R}\frac{\ln t dt}{t-z}-\oint\limits_{r}\frac{\ln s ds}{s-z}$ (1),
то
$2\pi i \ln z = \sum\limits_{k=0}^{\infty}z^{k} \oint\limits_{R}\frac{\ln t dt}{t^{k+1}}-\sum\limits_{k=1}^{\infty}z^{-k} \oint\limits_{r}s^{k-1}\ln s ds$.
Здесь $R$ и $r$ символически указывают на интегралы по окружностям, ограничивающим кольцо $C$, первое равенство является следствием интегральной формулы Коши, а второе получается из первого с помощью формулы для геометрической прогрессии.
Коэффициенты данного ряда нетрудно вычислить:
$\oint\limits_{R}\frac{\ln t dt}{t^{k+1}}=i\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{(\ln R+i\varphi)R e^{i\varphi}}{R^{k+1}e^{i(k+1)\varphi}}d\varphi=iR^{-k}\int\limits_{0}^{2\pi}(\ln R + i \varphi)(\cos k\varphi - i \sin k\varphi)d\varphi=\frac{2\pi i}{kR^k}$ для всех $k\ne 0$
$\oint\limits_{R}\frac{\ln t dt}{t}=i\int\limits_{0}^{2\pi}(\ln R+i\varphi)d\varphi = 2\pi i\ln R - 2\pi^2$, это для $k=0$.
И, наконец,
$\oint\limits_{r}t^{k-1}\ln s ds=i\int\limits_{0}^{2\pi}(\ln r+i\varphi)r^{k}e^{ik\varphi}d\varphi=ir^{k}\int\limits_{0}^{2\pi}(\ln R + i \varphi)(\cos k\varphi + i \sin k\varphi)d\varphi$=$\frac{2\pi ir^k}{k}$.
Подставляя эти вычисленные величины в исходный ряд мы как бы получаем
$\ln z = \ln R +i\pi + \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{kR^k} -\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{r^k}{kz^k}$.
В правой части все хорошо сходится, что видно из сравнения с геометрической прогрессией, однако само это равенство абсурдно, явно что-то фундаментально было сделано не правильно, вот только что?

[g______d]

Pulseofmalstrem в сообщении #1467703 писал(а):

Данная функция голоморфная в некотором кольце $C=\left\lbrace z \in \mathbb{C} : 0 < r < z < R <\infty\right\rbrace$

Нет.

[Pulseofmalstrem]

g______d
А в какой точке кольца не выполняются условия Коши-Римана? В нуле понятное дело все плохо, но его же нет в кольце.

P.S. А, кажется дело в том, что он не однозначный. Прав ли я?

[g______d]

Pulseofmalstrem в сообщении #1467707 писал(а):

P.S. А, кажется дело в том, что он не однозначный. Прав ли я?

Да. Даже непрерывную ветвь не построить во всём кольце, не то что голоморфную.

-- Пн, 08 июн 2020 15:09:17 --

Pulseofmalstrem в сообщении #1467707 писал(а):

А в какой точке кольца не выполняются условия Коши-Римана?

Если совсем формально, то зависит от того, какая именно функция подразумевается под $\varphi$.

[DeBill]

Pulseofmalstrem в сообщении #1467703 писал(а):

поскольку нуль - это существенно особая точка

Не да бог такое ляпнуть (про логарифм) на экзамене - двойка гарантирована...