представление группы и самосопряжённый оператор

[beroal]

Читаю книгу по применение теории представлений групп в квантовой механике, пытаясь понять, как они связаны между собой и с преобразованием Фурье.

Woit, Peter. Quantum Theory, Groups and Representations. E-book, Springer, 2017.

Цитата:

Для представления $\pi$ и элементов $g$ группы $G$, близких к нейтральному элементу, можно записать $\pi(g)\in \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ с помощью экспоненциальной функции как

$$\pi(g) = e^A,$$

где $A$ тоже матрица, близкая к нулевой матрице. В дальнейшем мы изучим эту ситуацию намного более подробно на многих примерах и, в частности, покажем, что если $\pi(g)$ унитарен (то есть принадлежит подгруппе $\operatorname{U}(n) \subseteq \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$), то $A$ кососопряжённый:

$$A^\dagger = -A,$$

где $A^\dagger$ — сопряжённо-транспонированная матрица. Положив $B=iA$, находим, что $B$ самосопряжённый

$$B^\dagger=B.$$

Теперь один из примеров, о которых сказано выше.

Цитата:

Если представление $\operatorname{U}(1)$ на $\mathcal{H}$ неприводимо, по теореме 2.2 оно одномерно с $\mathcal{H} = \mathbb{C}$. По теореме 2.3 оно должно иметь вид $(\pi_q, \mathbb{C})$ для некоторого $q\in\mathbb{Z}$. В этом случае самоспоряжённый оператор $Q$ — домножение элементов $\mathcal{H}$ на целое $q$.

Тут я не понял. Кажется, надо задать самоспоряжённый оператор для каждого элемента группы $\operatorname{U}(1)$.

Для справки, $\pi_k(e^{i\theta}) = e^{ik\theta}$.

[physicsworks]

Вот не читали бы вы всяких войтов и прочих смолиных... Есть хорошие книги по теории групп написанные для математиков, есть хорошие книги по теории групп написанные для физиков. А есть книги написанные непонятно кем для непонятно кого.

Порядок компактной абелевой группы $U(1)$ бесконечен, а ее регулярное представление бесконечномерно, но может быть разбито на бесконечное число одномерных неэквивалентных однозначных представлений, задаваемых целочисленным $k$ (индекс представления). При этом действие генератора представления на базисный вектор линейного пространства сводится к умножению этого вектора на $-ik$.

Очень подробно и ясно об этом всем написано в древней книге Любарского "Теория групп и ее применение в физике", параграфы 45 и 46.
Более объемная вводная современная книга по теории групп для физиков: Zee, "Group theory in a nutshell for physicists".
Для почитателей физики элементарных частиц есть Georgi, "Lie algebras in particle physics" (2nd edition)

[beroal]

physicsworks, спасибо за литературу. А менее древняя «Теория групп и физика» (1986 год) Любарского подойдёт?

Насколько я понял, для физиков — это когда отсутствуют не только доказательства, но даже теоремы и определения. Надеюсь, там будет хотя бы мотивация.

[physicsworks]

beroal в сообщении #1467484 писал(а):

А менее древняя «Теория групп и физика» (1986 год) Любарского подойдёт?

пойдет в качестве дополнительного. Обе книги находятся поиском.

beroal в сообщении #1467484 писал(а):

Насколько я понял, для физиков — это когда отсутствуют не только доказательства, но даже теоремы и определения.

это вы неверно поняли. Все приведенные выше книги достаточно строги, древний Любарский вообще написан в стиле "теорема-доказательство-примеры-контрпримеры". Еще добавлю Ramond, "Group theory: a physicist’s survey".

[Slav-27]

beroal в сообщении #1467035 писал(а):

и с преобразованием Фурье

Почитайте про двойственность Понтрягина, например, по книжке Кириллов, Гвишиани, "Теоремы и задачи функционального анализа", глава 4.

beroal в сообщении #1467035 писал(а):

Тут я не понял. Кажется, надо задать самоспоряжённый оператор для каждого элемента группы $\operatorname{U}(1)$.

Навряд ли. Скорее всего, там написано, что каждое представление $R$ группы Ли (в вашем случае $U(1)\xrightarrow{\pi_k} GL(1,\mathbb C)\simeq\mathbb C\setminus\{0\}$) задаёт представление $r$ её алгебры Ли (в вашем случае $i\mathbb R\simeq u(1)\xrightarrow{r} gl(1,\mathbb C)\simeq \mathbb C$) по формуле $r=dR(1)$ (в вашем случае $r(i)=\frac d{d\theta}\Big|_{\theta=0}e^{ik\theta}=ik=iQ$).

[beroal]

physicsworks в сообщении #1467567 писал(а):

Все приведенные выше книги достаточно строги, древний Любарский вообще написан в стиле "теорема-доказательство-примеры-контрпримеры".

Согласен. Я говорил о Zee.

[physicsworks]

beroal в сообщении #1467625 писал(а):

Согласен. Я говорил о Zee.

А что Зи? От тоже по-своему строг. Написан просто в более разговорном а не академическом стиле, но эта книга --- кладезь.