Предельная точка на окружности.

[inevitablee]

Здравствуйте. Есть следующее задание: "Докажите, что последовательность точек на плоскости, расположенных на
окружности, имеет по крайней мере одну предельную точку".

Мое рассуждение: так как точек последовательности бесконечно много, то найдется хотя бы одна точка на окружности(необязательно точка последовательности), в некоторой окрестности которой находится бесконечно много элементов последовательности(в противном случае последовательность имеет конечное число точек). Тогда по определению такая точка будет предельной точкой последовательности.

Корректно ли это рассуждение?

[mihaild]

А доказывать, что если в окрестности каждой точки конечное число точек, то всего точек конечно, вы умеете? (именно тут надо использовать, что у нас окружность - для скажем всей плоскости или внутренности круга это неверно)
UPD: перечитал. Да, в некоторой окрестности (например с радиусом большим диаметра окружности) любой точки окружности будет бесконечно много точек (вся последовательность). Но не любая точка окружности обязательно будет предельной. Как определяется предельная точка?

[Sender]

inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):

Тогда по определению такая точка будет предельной точкой последовательности.

Эм, можете привести здесь определение, которым вы руководствовались?

[nnosipov]

inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):

Мое рассуждение: так как точек последовательности бесконечно много, то найдется хотя бы одна точка на окружности(необязательно точка последовательности), в некоторой окрестности которой находится бесконечно много элементов последовательности(в противном случае последовательность имеет конечное число точек).

Вы написали примерно следующее: утверждение про бесконечную последовательность верно, потому что иначе последовательность была бы конечной. Здесь подробности интересны, а в этом тексте они отсутствуют.

[inevitablee]

Sender
Предельной точкой последовательности последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много членов этой последовательности.

Я сейчас, кажется, понял, что рассуждать надо так: эта последовательность ограничена, поэтому можно выделить хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность, поэтому есть хотя бы одна предельная точка.

[gris]

Может быть, надо было показать, что любая предельная точка тоже принадлежит окружности?

[inevitablee]

gris
Этого доказывать не требуют.

[FL91]

Странная терминология. Обычно предельные точки у множества и уместно предположить в постановке задачи, что имеется ввиду предельная точка образа последовательности. Здесь конечно утверждение не верно. С другой стороны и задачи никакой нет... На окружности и на окружности, и что? Почему не на треугольнике или другой ограниченной кривой...

inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):

так как точек последовательности бесконечно много

А как иначе? Последовательность это функция заданная на $\mathbb{N}$, ну или на $\mathbb{Z}$ в крайнем случае.

inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):

(в противном случае последовательность имеет конечное число точек)

Бред какой-то...

[Connector]

В принципе, последовательность может иметь конечное множество членов (то есть образ последовательности может быть конечен). Поэтому утверждение теоремы в такой формулировке неверно.
Кстати, существование предельной точки для образа бесконечной последовательности точек на окружности можно доказать делением окружности на полуокружности.

[inevitablee]

А верно ли рассуждение выше с использованием теоремы Больцано-Вейерштрасса?

[Brukvalub]

Пусть последовательность все время повторяет одну и ту же точку окружности. Какая точка будет у такой последовательности предельной?

[inevitablee]

Brukvalub
Никакая.

[Someone]

inevitablee в сообщении #1467172 писал(а):

Никакая.

"Предельная точка последовательности" и "предельная точка множества" — разные понятия.
Хотя и родственные.

[inevitablee]

Someone
А, точно, спутал. Здесь сама точка и будет предельной, ибо последовательность сходится к ней.

[Brukvalub]

Вы же все уже решили:

inevitablee в сообщении #1467040 писал(а):

Предельной точкой последовательности последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много членов этой последовательности.

Я сейчас, кажется, понял, что рассуждать надо так: эта последовательность ограничена, поэтому можно выделить хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность, поэтому есть хотя бы одна предельная точка.