2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предельная точка на окружности.
Сообщение04.06.2020, 13:54 


18/12/17
227
Здравствуйте. Есть следующее задание: "Докажите, что последовательность точек на плоскости, расположенных на
окружности, имеет по крайней мере одну предельную точку".

Мое рассуждение: так как точек последовательности бесконечно много, то найдется хотя бы одна точка на окружности(необязательно точка последовательности), в некоторой окрестности которой находится бесконечно много элементов последовательности(в противном случае последовательность имеет конечное число точек). Тогда по определению такая точка будет предельной точкой последовательности.

Корректно ли это рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение04.06.2020, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
А доказывать, что если в окрестности каждой точки конечное число точек, то всего точек конечно, вы умеете? (именно тут надо использовать, что у нас окружность - для скажем всей плоскости или внутренности круга это неверно)
UPD: перечитал. Да, в некоторой окрестности (например с радиусом большим диаметра окружности) любой точки окружности будет бесконечно много точек (вся последовательность). Но не любая точка окружности обязательно будет предельной. Как определяется предельная точка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение04.06.2020, 14:35 


14/01/11
3040
inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):
Тогда по определению такая точка будет предельной точкой последовательности.

Эм, можете привести здесь определение, которым вы руководствовались?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение04.06.2020, 14:38 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):
Мое рассуждение: так как точек последовательности бесконечно много, то найдется хотя бы одна точка на окружности(необязательно точка последовательности), в некоторой окрестности которой находится бесконечно много элементов последовательности(в противном случае последовательность имеет конечное число точек).
Вы написали примерно следующее: утверждение про бесконечную последовательность верно, потому что иначе последовательность была бы конечной. Здесь подробности интересны, а в этом тексте они отсутствуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение04.06.2020, 15:26 


18/12/17
227
Sender
Предельной точкой последовательности последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много членов этой последовательности.

Я сейчас, кажется, понял, что рассуждать надо так: эта последовательность ограничена, поэтому можно выделить хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность, поэтому есть хотя бы одна предельная точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение04.06.2020, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Может быть, надо было показать, что любая предельная точка тоже принадлежит окружности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение04.06.2020, 15:44 


18/12/17
227
gris
Этого доказывать не требуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 14:33 


11/02/20
57
Странная терминология. Обычно предельные точки у множества и уместно предположить в постановке задачи, что имеется ввиду предельная точка образа последовательности. Здесь конечно утверждение не верно. С другой стороны и задачи никакой нет... На окружности и на окружности, и что? Почему не на треугольнике или другой ограниченной кривой...

inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):
так как точек последовательности бесконечно много


А как иначе? Последовательность это функция заданная на $\mathbb{N}$, ну или на $\mathbb{Z}$ в крайнем случае.

inevitablee в сообщении #1467029 писал(а):
(в противном случае последовательность имеет конечное число точек)

Бред какой-то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 14:54 


02/05/19
396
В принципе, последовательность может иметь конечное множество членов (то есть образ последовательности может быть конечен). Поэтому утверждение теоремы в такой формулировке неверно.
Кстати, существование предельной точки для образа бесконечной последовательности точек на окружности можно доказать делением окружности на полуокружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 16:43 


18/12/17
227
А верно ли рассуждение выше с использованием теоремы Больцано-Вейерштрасса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Пусть последовательность все время повторяет одну и ту же точку окружности. Какая точка будет у такой последовательности предельной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 17:06 


18/12/17
227
Brukvalub
Никакая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
inevitablee в сообщении #1467172 писал(а):
Никакая.
"Предельная точка последовательности" и "предельная точка множества" — разные понятия.
Хотя и родственные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 19:00 


18/12/17
227
Someone
А, точно, спутал. Здесь сама точка и будет предельной, ибо последовательность сходится к ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная точка на окружности.
Сообщение05.06.2020, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы же все уже решили:
inevitablee в сообщении #1467040 писал(а):
Предельной точкой последовательности последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много членов этой последовательности.

Я сейчас, кажется, понял, что рассуждать надо так: эта последовательность ограничена, поэтому можно выделить хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность, поэтому есть хотя бы одна предельная точка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group