Дополнение к открытому множеству.

[inevitablee]

Здравствуйте. Есть такое задание: "Докажите, что дополнение к открытому множеству $M$ является замкнутым
множеством. "
Мое рассуждение: поскольку множество $M$ открыто, то оно не содержит свою границу. Т.к. в любой эпсилон-окрестности граничной точки множества $M$ есть точки как из него, так и не из него(для дополнения наоборот), то граница дополнения будет содержать в себе границу множества $M$, т.е. каждая граничная точка $M$ есть граничная точка дополнения. При этом множество $M$ свою границу в себе не содержит, значит, она содержится в дополнении. Но
этого недостаточно, чтобы доказать, что дополнение само по себе является замкнутым множеством, ведь у него могут быть и другие граничные точки, которые при этом не содержаться в дополнении.
Предположим, что $M_1$ является такой точкой. Она не принадлежит дополнению. Но тогда по определению она принадлежит множеству $M$. Т.е. она является точкой множества $M$, в любой окрестности которой есть точки как из дополнения, так и не из него, т.е в самом множестве $M$. Значит, эта точка является граничной точкой мн-ва $M$ и содержится в границе дополнения. Но это противоречит определению точки $M_1$.

Таким образом, я доказал, что дополнение к $M$ содержит в себе границу, поэтому является замкнутым.

Корректно ли это доказательство?

[mihaild]

Корректно, если все необходимые понятия уже есть. Правда обычно замкнутые множества определяются, как дополнения к открытым, а про границы говорят уже позднее... Как у вас определеются открытые и замкнутые множества?

[inevitablee]

mihaild
В нашем курсе (физфак МГУ) определения вводятся так: открытым называют множество, все точки которого являются внутренними(или, эквивалентно, множество, не содержащее граничных точек).
Закрытое множество - множество, содержащее все свои граничные точки. Граница - множество всех граничных точек данного множества.
Все понятия уже были введены, я лишь хотел уточнить верность рассуждений. Спасибо.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Два раза открытое множество будем называть переоткрытым...