Показательно-логарифмическое уравнение

[Farid123]

Решал одну проблемку, и наткнулся на такое уравнение: $x=\frac{e^{x}+\ln x}{2}$. Вроде как методом касательных решить можно, но меня интересует более алгебраический метод решения. Вобщем говоря можно ли решить это уравнение алгебраически. Вроде как можно поупрощать там и придти к уравнению $x\cdot e^{e^{x}}=e^{2x}$ , но как по мне
и это не даст особого результата. Что ещё интереснее, существует ли у решения этого уравнения конечная форма записи. Буду заранее
благодарен.

[kotenok gav]

Farid123 в сообщении #1466746 писал(а):

Вобщем говоря можно ли решить это уравнение алгебраически.

Нельзя.

Farid123 в сообщении #1466746 писал(а):

Что ещё интереснее, существует ли у решения этого уравнения конечная форма записи.

В каком смысле? Скорее всего, через функцию Ламберта выражается.

[B@R5uk]

Farid123 в сообщении #1466746 писал(а):

но как по мне и это не даст особого результата.

Очень даже хорошая форма. Видно, что если графики функций пересекаются, то это происходит в области $x>0$. С другой стороны, функция справа растёт медленнее функции слева. Обе они монотонные, и в нуле правая больше левой. Отсюда следует единственность решения. Извиняюсь, тут важен относительный рост функций, с которым, может быть, не всё гладко.

-- 03.06.2020, 18:37 --

Ещё можно заметить, что если $e^x=y$, то $x=y$ является решением. Потому что равенство $x\cdot e^{e^x}=e^{2x}$ можно представить как произведение равенств $x=e^x$ и $e^y=y$. А дальше функция Ламберта.

[Farid123]

Ясноб спасибо.

[novichok2018]

B@R5uk - мне кажется, не всё так просто. Разве уравнение $x=\exp(x)$ имеет решение при очевидно положительных икс?

[B@R5uk]

Не имеет. Я ошибся.