Критерий сходимости ряда случайных величин

[Juicer]

$X_j, j\in \mathbb{N}$ - независимые случайные величины $X_j \sim Bi(2, p_j), p_j \in (0, 1), j \in \mathbb{N}$. Найти критерий сходимости ряда $\sum_{j = 1}^\infty X_j$.
Я достаточность доказал по теореме о двух рядах. Критерий будет такой: $\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j < +\infty $ достаточно для сходимости $\sum_{j = 1}^\infty X_j$, потому что он будет мажорирующим для такого же ряда из квадратов, получается матожидания и дисперсии сходятся и ряд из иксов сходится.
А вот как доказать необходимость, не понимаю.
Пытался через х.ф - но у нас сумма биномиальных с.в. уже не будет биномиальной величиной суммы. Использовать теорему о трёх рядах?

-- 03.06.2020, 13:24 --

UPD:В принципе, всё легко решается и по необходимому условию теоремы о двух рядах, у нас ведь все величины равномерно ограничены.

[mihaild]

Можно еще напрямую через лемму Бореля-Кантелли (собственно упомянутые теоремы - это просто её развитие): если ряд из вероятностей расходится, то с вероятностью $1$ бесконечное число величин принимают значение $1$ или $2$.