2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение01.06.2020, 21:13 


06/02/19
74
Здравствуйте!
Помогите разобраться в следующей задаче:
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметрами a и b соответственно. Нужно найти вероятность $P(\xi\le \eta)$.
$$p_{\xi}(t)=\begin{cases}
ae^{-at},&\text{если $t\ge 0$;}\\
0,&\text{если $t<0$;}\\
\end{cases}$$
Решаю через функцию распределения и формулу свертки.
$P(\xi\le \eta)=P(\xi-\eta\le 0)$. Найдем плотность распределения случайной величины $\xi-\eta$ через функцию распределения: $F_{\xi-\eta}(z)=P(\xi-\eta\le z)=P((\xi,\eta)\in A)$, где $A$-область под графиком функции $y-x=z$. Значит, $P((\xi,\eta)\in A) = \iint\limits_{A}p_{\xi}(y)p_{\eta}(x)dxdy$. Сделав замену $t=y-x, x=s$, имеем $\int\limits_{-\infty}^{z}\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds$. Т.е $p_{\xi-\eta}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds$. Подынтегральная функция ненулевая только при $s\ge 0$ и $t+s\ge 0$, значит $s\ge -t$. Следовательно, $\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds=\int\limits_{-t}^{\infty}be^{-bs}ae^{-a(t+s)}ds$. В результате у меня получается функция от $t$, интеграл от которой по всей числовой прямой расходится, хотя итоговый ответ правильный. Где я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение01.06.2020, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
pandemodeus в сообщении #1466410 писал(а):
Подынтегральная функция ненулевая только при $s\ge 0$ и $t+s\ge 0$, значит $s\ge -t$
pandemodeus в сообщении #1466410 писал(а):
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t+s)p_{\eta}(s)ds=\int\limits_{-t}^{\infty}be^{-bs}ae^{-a(t+s)}ds$.
А куда у вас делось ограничение $s \geqslant 0$?

(Оффтоп)

Ну и ИМХО тут не надо с заменами заморачиваться, проще сразу записать интеграл $P(\xi \leqslant \eta) = \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty p_\xi(x) p_\eta(y) \mathbb{I}_{x \leqslant y}\, dx\, dy = \int\limits_{-\infty}^\infty\, dx\int\limits_x^\infty\, dy\, p_\xi(x)p_\eta(y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение01.06.2020, 21:38 


06/02/19
74
mihaild в сообщении #1466413 писал(а):
А куда у вас делось ограничение $s \geqslant 0$?

А как в таком случае поступать? Когда непонятно,как $s$ соотносится с $t$. Насколько я понимаю, нам нужно "подкрутить" пределы интегрирования таким образом, чтобы подынтегральная функция была ненулевая на этом промежутке. Эти пределы будут зависеть от $t$, поэтому я и записал второе условие.
Да, я знаю, что есть решения проще. Я просто хочу для себя решить таким способом, чтобы все уяснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение01.06.2020, 21:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
А Вы решите сперва Вашу задачу. Найти вероятность проще, чем функцию распределения.
А потом будем функцию распределения искать, если захочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение01.06.2020, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
pandemodeus в сообщении #1466414 писал(а):
Насколько я понимаю, нам нужно "подкрутить" пределы интегрирования таким образом, чтобы подынтегральная функция была ненулевая на этом промежутке
По сути так, но идейно важно не то, что функция ненулевая, а то, что она задана кусочно - на разных кусках разными формулами. Но т.к. только на одном куске она будет ненулевая, то да, достаточно найти этот кусок.
Вам в итоге нужно проинтегрировать по $s$ по той части прямой, где $s \geqslant -t$ и одновременно $s \geqslant 0$ - т.е. по пересечению двух лучей, идущих вправо. Как выглядит их пересечение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение01.06.2020, 21:54 


06/02/19
74
mihaild в сообщении #1466419 писал(а):
Вам в итоге нужно проинтегрировать по $s$ по той части прямой, где $s \geqslant -t$ и одновременно $s \geqslant 0$ - т.е. по пересечению двух лучей, идущих вправо. Как выглядит их пересечение?

Это зависит от того, больше ли $t$ нуля или нет. Нужно рассмотреть и просчитать оба случая?

-- 01.06.2020, 22:02 --

mihaild в сообщении #1466413 писал(а):
Ну и ИМХО тут не надо с заменами заморачиваться, проще сразу записать интеграл $P(\xi \leqslant \eta) = \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty p_\xi(x) p_\eta(y) \mathbb{I}_{x \leqslant y}\, dx\, dy = \int\limits_{-\infty}^\infty\, dx\int\limits_x^\infty\, dy\, p_\xi(x)p_\eta(y)$

А можно немного поподробнее, откуда взялось такое соотношение? Для пока не очевидно

-- 01.06.2020, 22:28 --

Otta в сообщении #1466417 писал(а):
А Вы решите сперва Вашу задачу. Найти вероятность проще, чем функцию распределения.
А потом будем функцию распределения искать, если захочется.

Задачу решил.
Итак: $P(\xi-\eta\le 0)=P((\xi,\eta)\in A)$, где A - область выше прямой $x-y=0$. Известно, что $P((\xi,\eta)\in A)=\iint\limits_{A}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy$. $x$ пробегает все вещественные значения, а $y$ "бегает" от $x$ до $+\infty$. Запишем, $\iint\limits_{A}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{x}^{+\infty}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(x)dx\int\limits_{x}^{\infty}p_{\eta}(y)dy, x\ge 0$. Последовательно решая 2 интеграла, получим, что искомая вероятность равна $\frac{a}{a+b}$. Теперь, хочется все-таки найти функцию распределения и плотность случайной величины $\xi-\eta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение01.06.2020, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
pandemodeus в сообщении #1466421 писал(а):
Нужно рассмотреть и просчитать оба случая?
Да. Собственно понятно, откуда эти два случая: от знака $t$ зависит, какая величина больше.
pandemodeus в сообщении #1466421 писал(а):
А можно немного поподробнее, откуда взялось такое соотношение?
Которое? Первое - это просто определение вероятности и плотности: вероятность события равна интегралу от его индикатора по вероятностной мере, а интеграл от случайной величины по вероятностной мере равен интегралу этой величины, умноженной на плотность распределения, по обычной мере Лебега. Второе - из определения индикатора: разбиваем внутренний интеграл на два, и под вторым индикатор тождественно равен нулю.
pandemodeus в сообщении #1466421 писал(а):
Теперь, хочется все-таки найти функцию распределения и плотность случайной величины $\xi-\eta$
Ну а теперь замените $0$ в выражении $P(\xi - \eta \leqslant 0)$ на произвольное число $a$, и найдите вероятность как функцию от $a$ - это как раз будет функция распределения. А потом продифференцируйте, и получите плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 01:08 


06/02/19
74
mihaild в сообщении #1466439 писал(а):
Да. Собственно понятно, откуда эти два случая: от знака $t$ зависит, какая величина больше.

Рассмотрел оба случая, в итоге получились разные результаты. Искомая вероятность - это их сумма? Или как в таком случае объединять результаты?
mihaild в сообщении #1466439 писал(а):
Которое? Первое - это просто определение вероятности и плотности: вероятность события равна интегралу от его индикатора по вероятностной мере, а интеграл от случайной величины по вероятностной мере равен интегралу этой величины, умноженной на плотность распределения, по обычной мере Лебега. Второе - из определения индикатора: разбиваем внутренний интеграл на два, и под вторым индикатор тождественно равен нулю.

Уже разобрался, спасибо.
mihaild в сообщении #1466439 писал(а):
Ну а теперь замените $0$ в выражении $P(\xi - \eta \leqslant 0)$ на произвольное число $a$, и найдите вероятность как функцию от $a$ - это как раз будет функция распределения. А потом продифференцируйте, и получите плотность.

Так и делал, в ответе получается $\frac{ab}{a+b}e^{bt}$. Но интеграл по прямой от этого выражения расходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 06:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
pandemodeus в сообщении #1466446 писал(а):
mihaild в сообщении #1466439 писал(а):
Да. Собственно понятно, откуда эти два случая: от знака $t$ зависит, какая величина больше.

Рассмотрел оба случая, в итоге получились разные результаты. Искомая вероятность - это их сумма? Или как в таком случае объединять результаты?

Вы искали плотность как функцию от $t$. Получили при $t<0$ одно выражение, при $t\geqslant 0$ - другое. Объединять результаты надо фигурной скобочкой:
$$
p_{\xi-\eta}(t)=\begin{cases} \ldots, & t<0\cr \ldots, & t\geqslant 0.\end{cases}
$$
Или можно с помощью индикаторов $p_{\xi-\eta}(t)=(\ldots)\cdot {I}{\{t<0\}}+(\ldots)\cdot {I}{\{t\geqslant 0\}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 11:48 


06/02/19
74
--mS-- в сообщении #1466464 писал(а):
Вы искали плотность как функцию от $t$. Получили при $t<0$ одно выражение, при $t\geqslant 0$ - другое. Объединять результаты надо фигурной скобочкой

Точно, :facepalm:
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
pandemodeus в сообщении #1466446 писал(а):
Так и делал, в ответе получается $\frac{ab}{a+b}e^{bt}$
Это интеграл такой получается, или производная? В любом случае, покажите выкладки - где-то в них ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 18:10 


06/02/19
74
mihaild в сообщении #1466563 писал(а):
Это интеграл такой получается, или производная? В любом случае, покажите выкладки - где-то в них ошибка.

Интеграл.
Решал так: $P((\xi,\eta)\in A)$, где А - область над графиком $x-y=z$, равна $\iint\limits_{A}p_{\xi}(x)p_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(x)dx\int\limits_{x-z}^{\infty}p_{\eta}(y)dy$. Отсюда возникают 2 условия на $x$:$x\ge 0$ и $x\ge z$. При $z\le 0$ имеем: $\int\limits_{0}^{\infty}ae^{-ax}dx\int\limits_{x-z}^{\infty}be^{-by}dy$. Решая данный интеграл в ответе получаем $\frac{a}{a+b}e^{bz}, z\le 0$. Аналогично при $z>0$ имеем $\int\limits_{z}^{\infty}ae^{-ax}dx\int\limits_{x-z}^{\infty}be^{-by}dy$. В результате получим $\frac{a}{a+b}e^{-az}, z>0$. Т.о образом мы нашли $F_{\xi-\eta}(z)$, но на функцию распределения это совсем не похоже.
Я уже решил эту задачу по формуле свертки, нашел и функцию распределения, и плотность, там все сходится, и даже ответ похож, но все же где-то в этом приведенном решении я ошибаюсь. Есть ощущение, что я не учитываю какой-то кусок в случае $z>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
pandemodeus в сообщении #1466587 писал(а):
$x\ge z$
Непонятно, откуда это условие.
При $x < 0$ действительно подинтегральная функция внешнеого интеграла равна нулю, поэтому эту область можно выкинуть. Но при любом положительном $x$ внутренний интеграл положителен, поэтому что-то еще выкидывать нельзя. Просто в зависимости от знака $x - z$, нижним пределом внутреннего интеграла будет либо $x - z$, либо $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 19:05 


06/02/19
74
mihaild в сообщении #1466597 писал(а):
Непонятно, откуда это условие.

Я рассуждал так: $p_{\eta}(y)$ ненулевая только в том случае, когда $y\ge 0$. Но $y=x-z$, значит $x-z\ge 0 \Rightarrow x\ge z $. Если построить область $x-y\le z$, то $y$ будет отлично от нуля только при $x\ge z$, значит и интегрировать нужно по $x$, начиная с $z$, ибо все остальное это 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотность разности непрерывных независимых величин
Сообщение02.06.2020, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
pandemodeus в сообщении #1466611 писал(а):
Но $y=x-z$,
Нет, это нижняя граница области интегрирования, а не точное значение. Чему скажем равен $\int\limits_{-1}^\infty p_\eta(y)\, dy$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group