Задачи на разложение мероморфной функции

[nnosipov]

Хорошо, а если $e^{i\alpha n}$ в п. 2) записать как $\cos{(\alpha n)}+i\sin{(\alpha n)}$? И получить два ряда, второй из которых равен нулю (потому что функция синус нечетна)?

[Markiyan Hirnyk]

Спасибо, понял (я тугодум). А как с пунктами 3) и 4) вопроса?

[Lia]

Уважаемые участники, прошу заметить, что не Markiyan Hirnyk является ТС.

[artempalkin]

Lia в сообщении #1466513 писал(а):

Уважаемые участники, прошу заметить, что не Markiyan Hirnyk является ТС

Дискуссия пока что сильно помогает мне разобраться, так что, если что, я только рад, если она будет продолжаться.

-- 02.06.2020, 15:54 --

Padawan в сообщении #1466470 писал(а):

В точке $z=n$ вычет равен $\dfrac{e^{i\alpha n}}{(n-\zeta)^2}\dfrac{(-1)^n}{\pi}$

Да-да, я подозреваю, что тут, может быть, разложение мероморфных функций (напрямую) ни при чем, а нужно подобрать какие-то функции, у которых соответствующие вычеты будут иметь подобный вид. Что-то не умею я это делать, а, видимо, нужно уметь...

Padawan в сообщении #1466470 писал(а):

Так как $\left|\dfrac{e^{i\alpha z}}{\sin\pi z}\right|\leqslant M$ на данной последовательность контуров, то $I_n\to 0$.

А почему к нулю? Хммм, на лемму Жордана вроде не очень похоже... Или почитать Евграфова и там поискать ответ лучше?

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1466561 писал(а):

А почему к нулю?

Так там же ещё множитель $1/(z-\zeta)^2$.

[artempalkin]

g______d в сообщении #1466467 писал(а):

Небольшая подсказка:

Да, спасибо, в целом разобрался :)

-- 02.06.2020, 22:15 --

Padawan в сообщении #1466567 писал(а):

Так там же ещё множитель $1/(z-\zeta)^2$.

Получается

$\left| \int \frac {e^{i\alpha z}}{(z-\zeta)^2}\frac 1 {\sin \pi z} dz \right| \leqslant \int \left| \frac {e^{i\alpha z}}{(z-\zeta)^2}\frac 1 {\sin \pi z} \right| dz \leqslant M \int \frac 1 {|z-\zeta|^2} dz$

Здесь, в принципе, понятно: мы интегрируем по окружности радиуса $\pi (n+ \frac 12)$, а знаменатель растет пропорционально $n^2$, но как бы это так красиво сделать... Но в целом ясно

[novichok2018]

Может у Вас, коллеги, разные издания, надо сверить? Может быть причиной несовпадений.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1466480 писал(а):

Можно также заглянуть в задачник под ред. Евграфова "Сборник задач по теории аналитических функций" (М.: Наука, 1972), см. задачи 27.09 и 27.10 (п. 2).

Хех, забавно, то, что надо :) Раньше что-то не слышал про этот задачник

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1466706 писал(а):

Раньше что-то не слышал про этот задачник

На всякий случай: есть еще один популярный задачник Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович, Сборник задач по теории функций комплексного переменного.