Линейнейная алгебра. Билинейная форма.

[Ludmila_]

Здравствуйте!

Задание:
Доказать , что следующая билинейная форма на пространстве $V$ является симметрической. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции для соответствующей квадратичной формы.
Пусть $V = Mat(n,R)$ линейное пространство $n × n$ матриц над полем $R$ и $f(X,Y ) = TrXY$ (форма Киллинга).

Мои попытки решения:
Докажем, что система является симметрической.
Пусть $A = XY$, $B=YX$,
$TrA=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$

$TrB=\sum_{i=1}^{n} b_{ii}$

$a_{ii} = \sum_{k=1}^{n} x_{ik}y_{ki}$

$b_{ii} = \sum_{k=1}^{n} y_{ik}x_{ki}=\sum_{k=1}^{n} x_{ki}y_{ik}$

$TrA=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} x_{ik}y_{ki}$

$TrB=\sum_{k=1}^{n} x_{ki}y_{ik}$
Последние две формулы отличаются только названием переменных $i$ и $k$, значит $TrA=TrB$, следовательно является симметрической.

Вопросы: Правильно ли я доказала? Что делать дальше: как в этом случае найти ранг и индексы инерции?

Помогите, пожалуйста.

[Lia]

Ludmila_
Двойные индексы поправьте.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»