Функциональный анализ,унитарно эквивалентные операторы

[Verdangeta]

Как узнать, являются ли унитарно эквивалентными операторы умножения на sin x
в $ L^2[0,2\pi]$ и $L^2(g)$, где g — стандартная гауссовская мера на прямой.

Я знаю, что у оператора умножения спектр-- множество существенных значений $\varphi$ и то, что у унитарно эквивалентных спектр совпадает.

Я предположил, что они не унитарно эквивалентны.У первого спектр [-1,1].У второго надо посчитать: я решил проверить, лежит ли нуль в спектре поэтому посчитал:$g(w:|\sin(x)|\le \varepsilon)$ . У меня получилось

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty (\Phi(\arcsin{\varepsilon}+\pi k)-\Phi(-\arcsin{\varepsilon}+\pi k))$$

У меня возник вопрос, правильно ли я всё делаю?

[DeBill]

Verdangeta в сообщении #1465831 писал(а):

У меня возник вопрос, правильно ли я всё делаю?

Это - смотря что...
Если таким способом Вы хотите показать не эквивалентность - это одно...
А если пытаетесь установить, что 0 - точка спектра - это совсем другое...

(Оффтоп)

Например, установив, что выписанный Вами ряд сходится, и сумма его стремится к нулю при стремлении эпсилона к нулю, Вы, возможно, покажете, что 0 - точка непрерывного спектра. И - что?

[Verdangeta]

DeBill в сообщении #1465853 писал(а):

Verdangeta в сообщении #1465831 писал(а):

У меня возник вопрос, правильно ли я всё делаю?

Это - смотря что...
Если таким способом Вы хотите показать не эквивалентность - это одно...
А если пытаетесь установить, что 0 - точка спектра - это совсем другое...

(Оффтоп)

Например, установив, что выписанный Вами ряд сходится, и сумма его стремится к нулю при стремлении эпсилона к нулю, Вы, возможно, покажете, что 0 - точка непрерывного спектра. И - что?

Таким образом я хотел показать не эквивалентность, но как видите ноль лежит в спектре, а значит этим я ничего не доказываю.Просто явно привести унитарный изоморфизм этих пространств для доказательства их эквивалентности у меня не получилось.Поэтому я предполагаю, что они не эквивалентны.

[g______d]

Спектр замкнут. Поскольку нуль лежит в замыкании спектра обоих операторов, он будет и в спектре.

Посмотрите на более простой пример: оператор умножения на $x$ в $L^2[0,1]$ и оператор умножения на $|x|$ в $L^2[-1,1]$. Будут ли они эквивалентны?

[Verdangeta]

g______d в сообщении #1465871 писал(а):

Спектр замкнут. Поскольку нуль лежит в замыкании спектра обоих операторов, он будет и в спектре.

Посмотрите на более простой пример: оператор умножения на $x$ в $L^2[0,1]$ и оператор умножения на $|x|$ в $L^2[-1,1]$. Будут ли они эквивалентны?

Пока я вижу, что у них одинаковый спектр, и у обоих нет собственных функций. Других свойств унитарно-эквивалентных я не знаю, но ещё подумаю.Если они эквивалентны, то как построить изоморфизм пространств до меня не доходит.

Хотя пришла идея, почему бы не взять за J отображение $L^2[0,1]\rightarrow L^2[-1,1]$ которое просто симметрично продолжает функцию на [-1,0]?Тогда вроде верно, что $A_1=J^{-1}A_2J$, где $A_1,A_2$- операторы на $L^2[0,1]$ и $L^2[-1,1]$ соответственно.

Только проблема в том,что J инъективна, но не сюръективна ...

[g______d]

Verdangeta в сообщении #1465875 писал(а):

Только проблема в том,что J инъективна, но не сюръективна ...

Да, это не унитарная эквивалентность.

Хорошо, а то же самое в дискретном варианте: умножение на $n$ в $\ell^2(\mathbb N \cup \{0\})$ и умножение на $|n|$ в $\ell^2(\mathbb Z)$?

[Verdangeta]

g______d в сообщении #1465878 писал(а):

Хорошо, а то же самое в дискретном варианте: умножение на $n$ в $\ell^2(\mathbb N \cup \{0\})$ и умножение на $|n|$ в $\ell^2(\mathbb Z)$?

Мне кажется, в данном случае можно за J взять такое отображение , работающее по следующему правилу для каждого элемента строки

$$0\leftrightarrow 0| 1\leftrightarrow 1| 2\leftrightarrow -1| 3\leftrightarrow -2|... $$

и т.д. То можно заметить, что такое отображение выдерживает умножение на n, т.е. хорошо работает формула $A_2=J^{-1}A_1J$.Значит они унитарно эквивалентны?

Только скалярное произведение не сохраняется...

[g______d]

Verdangeta в сообщении #1465883 писал(а):

То можно заметить, что такое отображение выдерживает умножение на n

Не выдерживает: если $2\leftrightarrow -1$, то умножение на 2 переходит в умножение на 1.

-- Пт, 29 май 2020 13:55:53 --

Хорошо, тогда ещё более простой вопрос: две диагональные матрицы $5\times 5$. У одной на диагонали $1,1,1,2,2$, а у другой $1,1,2,2,2$. Будут ли они унитарно эквивалентны по отношению к стандартному скалярному произведению в $\mathbb C^5$?

[Verdangeta]

g______d в сообщении #1465885 писал(а):

Хорошо, тогда ещё более простой вопрос: две диагональные матрицы $5\times 5$. У одной на диагонали $1,1,1,2,2$, а у другой $1,1,2,2,2$. Будут ли они унитарно эквивалентны по отношению к стандартному скалярному произведению в $\mathbb C^5$?

Тут ответ нет, потому что норма у них разная, а у унитарно эквивалентных матриц норма совпадает.

[g______d]

Verdangeta в сообщении #1465887 писал(а):

Тут ответ нет, потому что норма у них разная, а у унитарно эквивалентных матриц норма совпадает.

Операторная норма одинаковая. Гильберта-Шмидта разная. Хорошо, тогда пусть

$1,1,-1,-1,-2,-2,2,0$ и $-1,-1,-1,-1,-2,2,2,0$?

[Verdangeta]

g______d в сообщении #1465888 писал(а):

Хорошо, тогда ещё более простой вопрос: две диагональные матрицы $5\times 5$. У одной на диагонали $1,1,1,2,2$, а у другой $1,1,2,2,2$. Будут ли они унитарно эквивалентны по отношению к стандартному скалярному произведению в $\mathbb C^5$?

Матрицы A и B унитарно эквивалентны, если $A=U^*BU$, где U-унитарная матрица.У нас обычное стандартное скалярное произведение в $C^5$, отсюда получаем $(Ux,Uy)=(Ux)^T\overline{Uy}=x^TU^T\overline{U}\overline{y}=x^T\overline{y}=(x,y)$-отсюда получаем, что $U^{-1}=\overline{U^T}$ и то, что у неё по модулю единичный определитель. А значит модули определителей A и B должны совпасть, что не так.

g______d в сообщении #1465888 писал(а):

Операторная норма одинаковая. Гильберта-Шмидта разная. Хорошо, тогда пусть

$1,1,-1,-1,-2,-2,2,0$ и $-1,-1,-1,-1,-2,2,2,0$?

У унитарно эквивалентных матриц одинаковые множества собственных чисел, они тут различаются $\Rightarrow$ они не унитарно эквивалентны

[g______d]

Verdangeta в сообщении #1465895 писал(а):

У унитарно эквивалентных матриц одинаковые множества собственных чисел, они тут различаются $\Rightarrow$ они не унитарно эквивалентны

Множества не различаются, у обеих собственные числа $1,-1,2,-2,0$. Различается кое-что другое.

[Verdangeta]

g______d в сообщении #1465896 писал(а):

Множества не различаются, у обеих собственные числа $1,-1,2,-2,0$. Различается кое-что другое.

У второй матрицы на диагонали нет единицы.Вы иммете ввиду размерности собственных подпространств?Они тоже у них разные,а у эквивалентных должны совпасть для каждого числа.

[g______d]

Verdangeta в сообщении #1465897 писал(а):

У второй матрицы на диагонали нет единицы.

Да, согласен -- я писал с мобильного устройства и не проверил. Нужно было так:

$1,1,-1,-1,-2,-2,2,0,1$ и $-1,-1,-1,-1,-2,2,2,0,1$.

Verdangeta в сообщении #1465897 писал(а):

Вы иммете ввиду размерности собственных подпространств?

Да. В бесконечномерном случае это называется "кратность спектра" или "функция кратности спектра". В Вашем примере именно она и различается.

Но я не знаю простого строго объяснения. Полное доказательство есть в книге Бирман, Соломяк "Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве".

Можно, например, на языке циклических векторов. Для первого оператора (назовём его $A$) существуют два вектора $x,y$, такие, что множество линейных комбинаций векторов $\{A^n x,A^m y\}$ плотно в гильбертовом пространстве. Это означает, что его кратность спектра не выше 2. Если бы было достаточно одного вектора, кратность была бы равна одному.

Для второго оператора такой пары векторов не существует. Минимальный набор векторов будет счётным. Другими словами, кратность спектра равна бесконечности.

Но строить эти вектора руками -- то ещё удовольствие.

-- Пт, 29 май 2020 15:58:08 --

Точнее, строить как раз легко, но не очень легко доказывать.

[Verdangeta]

g______d

Спасибо вам за помощь, я это всё обдумаю!