Неравенства с параметрами

[Grecky]

1)(2 - х)*а^2+(x^2 - 2*x + 3)*a - 3*x>=0 найти все значения х, удовлетворяющие неравнству при а = [-3;0]. задачу я в принципе решил, только вот один есть маленький казус... вот решение:
т.к. f(a) - парабола =>
f(-3)>=0 х<=0
и <=> и
f(o)>=0 (x-1)*(x+3)<=0
в общем в итоге получается, что ответ - x=[-3;0]. вроде как получается, но одно НО:
при a = -1, изначальному нервенству удовлетворяет только 1 точка x = - 1, хотя технически решение верное, так в чем же проблема??

2) cos^2(2x) - p*cos^2(x) > p*sin^2(x) + 12*cos^2(x) найти все p, которые удовлетворяют условию, при всех x. Тут я вообще не знаю как начать.

[Brukvalub]

Вот в чем проблема:
1. При x=2 слева по а - не парабола.
2. В зависимости от х при остальных х ветви параболы по а слева могут менять свое направление.
3. Даже, если ветви направлены только вверх, схема Вашего решения - неверная.
Во второй задаче все сводится к исследованию множества значений квадратного трехчлена относительно косинуса на отрезке изменения этого косинуса, то есть от -1 до 1.

[Grecky]

ээээ... и как же решать первое? даже если выразить ф-ю как f(x) все равно получится то же самое... подскажите пожалуйста.
и по поводу второго:
получается: cos^2(2x) - 12*cos^2(x) > p... и что дальше?

[Brukvalub]

Grecky писал(а):

и по поводу второго:

Теперь понижайте степень второго члена слева, удваивая его аргумент, а затем делайте так, как я уже писал Вам.

[bot]

У Вас косинусы икса и удвоенного икса. Ну, для начала я бы от одного избавился, а потом бы подумал, окаком из двух косинусов сказал Brukvalub

Добавлено спустя 3 минуты 45 секунд:

Странно, не промотал до конца что ли и не увидел пост Brukvalubа или он меня опередил, так я долго размышлял как ответить, чтоб сказать не слишком много? Ну как бы то ни было ничего худого я не сказал.

[Grecky]

аа понял и теперь получилось:
cos^2(2x) - 6*cos(2x) -6>p. т.е теперь можно просто подставит вместо косинуса cos(x)= -1 и cos(x)=1, так?
тогда получается

p<1 и p<-11 правильно?*

зы. to bot: новосибирск рулит! я туда поступать в этом году буду! в нгу или нгту

[Brukvalub]

Grecky писал(а):

теперь можно просто подставит вместо косинуса cos(x)= 1

Это - верно. А

Grecky писал(а):

просто подставит вместо косинуса cos(x)= - 1

не нужно. А почему - Вам полезно подумать самому. И, вообще, судя по Вашим ответам, Вам полезно подучить про параболу.

[Grecky]

гм не понял. если t=cos(2x), то ф-я t^2 - 6*t -6 существует только на
[-1;1] я н епонимаю почему не правильно

[Brukvalub]

Grecky писал(а):

гм не понял. если t=cos(2x), то ф-я t^2 - 6*t -6 существует только на[-1;1]

С этим я и не спорил. А подставлять все равно достаточно только 1. Я заметил, что все подобные задачи Вы пытаетесь решить одним способом - подставляя в неравенство концы неких отрезков. Такой автоматический способ решения далеко не всегда дает правильный ответ . Поэтому я и написал Вам:

Brukvalub писал(а):

И, вообще, судя по Вашим ответам, Вам полезно подучить про параболу.

Например, не стоит забывать, что , минуя вершину парабола меняет характер своей монотонности, и т.д, и т.п.....

[bot]

Grecky писал(а):

гм не понял. если t=cos(2x), то ф-я t^2 - 6*t -6

Первые два коэффициента они самые, а в третьем $p$ должно быть - куда оно пропало?

Цитата:

... существует только на [-1;1]

В некотором смысле да - как эта переменная у Вас появилась? Все ли её значения нас интересуют?
Судя по-всему Brukvalub прав:

Цитата:

Вам полезно подучить про параболу

как коэффициенты влияют на её вид. В задачах с параметром это очень облегчает дело в сравнении с прямолинейным подходом через вычисление корней.
А в НГУ такие задачки любят.

[Grecky]

оуу... вот в том-то и проблема, что у этой функции нету вершины!
если считаь f(t)=t^2 - 6*t -6, то вершина параболы в точке А(3;-15)!
а если подставить в эту функцию t=1 и t=-1, то получится соответственно f(t)=1 и f(t)=-11. т. е. получается вообще какой-то другой график.

[Brukvalub]

Grecky писал(а):

оуу... вот в том-то и проблема, что у этой функции нету вершины!
если считаь f(t)=t^2 - 6*t -6, то вершина параболы в точке А(3;-15)!

Вот и молодчина! Вы имеете дело с "куском" графика параболы, которая сейчас монотонно убывает, поэтому, исходя из требований задачи, достаточно учесть только точку минимума. На это я Вам и намекал.

[bot]

Вершина у параболы есть всегда, только она получилась вне [-1;1]. Угу, всё верно - на этом отрезке функция монотонна, далее очевидно какой конец смотреть.
А вопрос с $p$ снимаю - пропустил, что Вы его по совету Brukvalubа направо унесли, но можно было и не уносить.

Добавлено спустя 3 минуты 50 секунд:

Кстати, задача оказалась простой из-за независимости первых двух коэффициентов от параметра - в данном случае даже тупой подход через корни не очень сложен. Задачка была бы поинтереснее, если бы от параметра зависели все коэффициенты - здесь тупой подход весьма сложен - далеко не все проламываются.

[Grecky]

‹…› я так ничего и не понял
да будет вам известно, что ф-я убывает на [-1;1], ведь f(-1)<f(1) и ветви вверх=>
x=1 точка максимума, а х=-1 точка минимума, так? в таком случае надо учитывать лишь точку минимума х=-1

Нецензурные выражения удалены. Строгое замечание // нг

[PAV]

[mod="PAV"]Grecky,

во-первых, у нас выражаться не принято. А пользоваться средствами оформления формул, о которых написано здесь - принято и даже требуется правилами. Исправьте все свои предыдущие сообщения. В большинстве случаев будет достаточно просто заключить формулы в знаки долларов и пользоваться командами \le ($\le$) и \ge ($\ge$), а также полезно будет использовать команды \cos и \sin ($\cos x$ смотрится лучше, чем $cos x$). В противном случае тема будет отправлена в Карантин до исправления.[/mod]