Смысл плотности распределения случайной величны

[pandemodeus]

Здравствуйте!
Никак не могу усвоить смысл плотности распределения случайной величины.
Если в дискретном случае все понятно, есть значения случайной величины, есть их вероятности, в сумме дающие 1, и это называется распределением случайной величины. Мы можем для каждого конкретного значения случайной величины узнать вероятность его возникновения.
С непрерывными же величинами все как-то сложнее. Понятно, что вероятность от множества меры 0 есть 0, т.е вероятность непрерывной случайной величины принять какое-то конкретное значение из области значений равно 0. Мне не понятен смысл плотности распределения, т.е как пользоваться ее графиком и какие выводы можно делать, глядя на него.
Возьмем например равномерное распределение на отрезке $[0,2]$. Плотность в данном случае будет кусочно-постоянной функцией, равной $\frac{1}{2}$ на отрезке $[0,2]$ и нулю во всех остальных точках. Что показывает данный график?
Формул и строгих определений уже видел достаточное количество, объясните, пожалуйста, "на пальцах", если кто способен.

[manul91]

pandemodeus в сообщении #1465794 писал(а):

Мне не понятен смысл плотности распределения, т.е как пользоваться ее графиком и какие выводы можно делать, глядя на него.
Возьмем например равномерное распределение на отрезке $[0,2]$. Плотность в данном случае будет кусочно-постоянной функцией, равной $\frac{1}{2}$ на отрезке $[0,2]$ и нулю во всех остальных точках. Что показывает данный график?

Это точно не троллинг?

Пусть дан график плотности распределения.
Тогда вероятность чтобы значение случайной величины попало в интервал $[a,b]$ равна площади под графика плотности над этим интервалом.

Например, в данном конкретном случае равномерного распределения на отрезке $[0,2]$: вероятность чтобы случайная величина приняла значение от 0.5 до 0.8 равна 0.15 (ибо площадь графика на интервале $[0.5,0.8]$ равна 0.15), вероятность чтобы значение случайной величины попало в интервале от 0 до 2 равна 1 (ибо площадь графика на интервале $[0,2]$ равна 1), вероятность чтобы значение случайной величины попало в интервале от 3 до 6 равна нулю (ибо площадь графика на интервале $[3,6]$ равна нулю) и так далее.

Короче, если плотность распределения случайной величины $f(x)$, то вероятность чтобы случайная величина приняла значение в интервале $[a,b]$ равна $\int_{a}^{b}f(x)dx$.

[teleglaz]

manul91 в сообщении #1465798 писал(а):

объясните, пожалуйста, "на пальцах"

Плотность не зря назвали плотностью.
Возьмите 1000 реализаций вашей случайной величины $X\sim R[0;2]$. Как они распределятся на отрезке $[0;2]$? Будут они "кучковаться" где-то или лягут равномерно? Ключевое слово "равномерно". Раз ваша плотность везде одинакова, то и "распределение" точек (реализаций с.в.) будет примерно одинаково или равномерно. Отсюда собственно и название распределения.
Если же ваша плотность имеет какую-либо иную форму, например колоколообразную (см. нормальное распределение и иже с ним), то там где плотность распределения больше (график выше), там и "плотность" реализаций вашей с.в. тоже будет выше. "Кучковаться" они начнут возле пика.
"На пальцах" как-то так.

[pandemodeus]

manul91
Если вам показалось, что это троллинг, могли не отвечать. За ответ спасибо
teleglaz
Спасибо, вроде дошло.

[manul91]

pandemodeus в сообщении #1465810 писал(а):

Если вам показалось, что это троллинг, могли не отвечать. За ответ спасибо

Извините, мне казалось, что это достаточно хорошо разъяснено куда только ни глянь - вот и усомнился.

Можно рассуждать и так: пусть разобъем домен непрерывной случайной величины (область величин которых она может принимать) на маленьких одинаковых интервалов $\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3 ...$ (достаточно малых чтобы $f(x)$ мало менялась над каждого интервала).
Тогда вероятность что случайная величина примет значение внутри каждого из этих одинаковых интервалов, пропорциональна "высотой" $f(x)$ над этом интервале (поскольку все интервалы одинаковы).

Например если разобъем вашего равномерного распределения в $[0,2]$ на одинаковых интервалов $[0,0.1]$, $[0.1,0.2]$, $[0.2,0.3]$, ..... $[1.9,2]$ - то (так как величина $f(x)$ над каждого из них одинакова и равна $0.5$) то вероятность чтобы случайная величина выпала в любого из этих интервалов одинакова (и равна $\frac{1}{20}$ поскольку такова площадь графики под любого из этих интервалов).
Если разобъем подобным образом нормальное распределение (колокол) на равных интервалов - то вероятность чтоб случайная величина выпала в них будет наибольшей в интервалов под горба и быстро уменьшаться вдали от него.