Непрерывный вариант суммы Гаусса

[novichok2018]

Задача в том, чтобы найти явное выражение для конечных сумм через специальные функции

$$ S_1(x)=\sum_{k=0}^n a^{x k^2}, S_2(x)=\sum_{k=0}^n a^{ix k^2}, a>0, x\in\mathbb{R}. $$

Можно сразу положить $a=e$.
Это обобщения сумм для геометрической прогрессии, а при рациональных $x$ - знаменитые Суммы Гаусса. Те самые, которые он искал 11 лет, и "затратил на эту задачу больше лет, чем дней на остальные задачи".
Мне кажется, что когда-то видел формулу для этих конечных сумм для любых действительных $x$, кажется через тета-функции Якоби. Не могу теперь ни вспомнить, ни найти. Вольфрам и Прудников-Брычков-Маричев сразу не помогли, возможно не сумел найти или правильно спросить.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1465747 писал(а):

а при рациональных $x$ - знаменитые Суммы Гаусса

Точнее, при $a=e$ и $x=2\pi k/(n+1)$ вторая сумма $S_2(x)$ как раз будет суммой Гаусса.

[novichok2018]

nnosipov - спасибо за уточнение.