Небольшая задача на тензоры

[kirkirkir]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей на тензоры.

Условие:
Пусть $a_{pq}$ - координаты дважды ковариантного тензора $[A]^{0}_{2}$ в некотором базисе $n$-мерного линейного пространства, причем $detA=\det(a_{pq})\ne0$. И пусть матрица $A^{-1}$ является матрицей дважды контрвариантного тензора $[B]^{2}_{0}$ в том же базисе. Доказать, что и в любом другом базисе матрица тензора $[B]^{2}_{0}$ является обратной для матрицы тензора $[A]^{0}_{2}$.

Моя попытка решения:
Пусть $\overline{A^{-1}}$ и $\overline{A} - матрицы тензоров $[B]^{2}_{0}$ и $[A]^{0}_{2}$ в новом базисе. Тогда
$\overline{A^{-1}}=(C^{-1})^{T}C^{-1}A^{-1}$ *
$\overline{A}=C^{T}AC$ **
Проблема: отсюда не следует то, что $\overline{A}^{-1}=\overline{A^{-1}}$ (Если взять матрицу, обратную к $\overline{A}, то после тривиальных преобразований не появляется необходимая конструкция). В чем может быть моя ошибка?

*Переход от записи в тензорном виде к записи в матричном виде преобразования дважды контрвариантного тензора при переходе к другому базису $\bar{}a^{pq}=\bar{c}^{p}_{i}\bar{c}^{q}_{j}a^{ij}^$ $\Rightarrow$ $\overline{B}=(C^{-1})^{T}C^{-1}B$
** Аналогично: $a_{pq}={c}^{i}_{p}{c}^{j}_{q}a_{ij}^$ $\Rightarrow$ $\overline{B}=C^{T}BC$

Спасибо!

[Xaositect]

Ошибка в переходе для $A^{-1}$.

Посмотрите внимательно. При переводе $a_{pq}={c}^{i}_{p}{c}^{j}_{q}a_{ij}$ в умножение матриц у Вас матрицы $C$ оказались по обе стороны от $A$, а при переводе $\bar{}a^{pq}=\bar{c}^{p}_{i}\bar{c}^{q}_{j}a^{ij}$ - почему то по одну сторону, хотя выражение, по сути, то же самое. $c$ общих индексов не имеют, и потому перемножаться в матричном выражении не должны.