Количество цифр в факториале

[ТНК]

Подскажите пожалуйста.Можно ли узнать из скольких цифр(символов) будет состоять факториал какоголибо числа(например факториал 5 состоит из 2х цифр).

[Brukvalub]

Количество цифр натурального числа совпадает с увеличенной на 1 целой частью от десятичного логарифма этого числа. Возможно, это поможет Вам оценить ответ в Вашей задаче.

[ТНК]

Ну тогда мне надо знать чему будет равен факториал числа.А мне нужно знать сколько из скольких чисел он будет состоять до его вычисления(В общем это задача по информатике и мне там надо вычислять факториал 90000000000 ну вот таких чисел и мне не помешалобы знать сколько памяти займет ответ.)Если вычислить количество цифр никак нельзя? Буду пробовать по другому...

[Brukvalub]

ТНК писал(а):

Ну тогда мне надо знать чему будет равен факториал числа

Нет. Ведь логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей, поэтому само произведение вычислять не нужно.

[Trotil]

Сумма всех логарифмов до 90000000000 будет долго считаться....

Лучше воспользоваться формулой Стирлинга. У меня получилось число порядка $10^{12}$

[e2e4]

Trotil писал(а):

(например факториал 5 состоит из 2х цифр).

Из 3-х.

[Trotil]

e2e4

Это не я писал

[Gafield]

Есть формула Стирлинга.

[e2e4]

Trotil писал(а):

e2e4

Это не я писал

Да, конечно, извините. Цитата г-на ТНК.

Trotil писал(а):

Сумма всех логарифмов до 90000000000 будет долго считаться....

Лучше воспользоваться формулой Стирлинга. У меня получилось число порядка $10^{12}$

Мне кажется, маловато будет .

[Trotil]

Ах, да, ошибся. Сейчас пересчитаю.

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Нет, вроде не ошибся... Порядка

$$10^{12}$$

(чуть меньше) знаков.

[Brukvalub]

Trotil писал(а):

Нет, вроде не ошибся... Порядка

$$10^12$$

(чуть меньше) знаков.

Все тут о ф-ле Стирлинга заговорили. Но она дает лишь приближенное число знаков. А разве автора вопроса интересует не точное, а приближенное значение числа знаков?

[Gafield]

Формула Стирлинга дает асимптотический ряд для для логарифма $n!$. Насколько я помню, первая поправка там $1/(12n)}$. Логарифм будет давать ответ с точностью, может, до одной цифры. Для большей точности можно брать несколько членов дальше, в случае, если десятичный логарифм близок к целому числу. Для больших $n$ он должен быть очень близок, что будет встречаться нечасто. Так что практически можно ограничиться точностью $O(1/n)$.

[Trotil]

Brukvalub писал(а):

А разве автора вопроса интересует не точное, а приближенное значение числа знаков?

Во-первых да, приближенное (необязательно подгонять память под самый край), а во-вторых, уже при небольших числах она будет давать абсолютно точный ответ (исключения будут составлять такие $n!$, которые будут очень близки к $10^k$, сомневаюсь даже, что такие будут и даже в таком погрешность будет составлять максимум единицу)

[Попов А.В.]

Brukvalub писал(а):

Trotil писал(а):

Нет, вроде не ошибся... Порядка

$$10^12$$

(чуть меньше) знаков.

Все тут о ф-ле Стирлинга заговорили. Но она дает лишь приближенное число знаков. А разве автора вопроса интересует не точное, а приближенное значение числа знаков?

При использовании формулы стирлинга мы можем ошибиться максимум на один знак. Причем с ростом n вероятность этой ошибки уменьшается. А вообще для многих n, в ходе вычисления числа знаков (по формуле Стирлинга) мы сразу можем сказать, правильный мы получили ответ или есть вероятность ошибки.

Универсального способа вычисления этой величины помимо прямого вычисления факториала, я не вижу.

[Brukvalub]

Обсуждение убедило меня, что применение ф-лы Стирлинга для решения этой задачи - наилучший выход.