Вопросы по учебнику КМ

[SNet]

Добрый день, в процессе чтения учебника по квантовой механики у меня возникла пара вопросов по распределениям различных величин. Поскольку в книжке нет ответов, то хотел бы уточнить свои способы решения и своё понимание.

1) Задача: дан классический одномерный гармонический осциллятор, то есть система в поле $V(x) = \frac{kx^2}{2}$ с неким запасом энергии $E$. Найти распределение плотности вероятности импульса $p$
Мой подход: распределение $\rho(x)$ по координате $x$ можно найти из условия $\rho(x)dx = \frac{dt}{T}$, где $T$ -- полупериод колебаний (время, проведённое системой между точками поворота). В итоге получим $\rho(x) = \frac{1}{v(x)T}$. Здесь $v(x)$ находится из закона сохранения энергии. Далее учитываю, что $p = mv$. В принципе $p$ и $x$ связаны функционально, поэтому вероятность найти систему в окрестности импульса $p$ равна вероятности найти систему в окрестности соответствующей этому импульсу координаты $x$. Последняя находится из уравнения $p= mv(x)$ разрешением оного относительно $x$. Мои рассуждения о вероятности записываются как $\widetilde{\rho}(p)dp = \rho(x)dx$, где $\widetilde{\rho}(p)$ -- искомое распределение по импульсу. Отсюда $\widetilde{\rho}(p) = \rho(x)\frac{dx}{dp}$. Имея на руках функцию $x(p)$ находим распределение по импульсам.
Вопрос 1: это верный подход?
Вопрос 2: какие существуют общие способы поиска распределений функционально связанных величин, если дано распределение хотя бы для одной?

2) В учебнике пишется, что в квантах в принципе бессмысленно говорить о координатах и скоростях частиц до измерения, вместо этого мы будем использовать операторы координаты и импульса. Но тогда что такое $<p> = \int_{-\infty}^{+\infty }\Psi^{*}\hat{p}\Psi dx$? Среднее по ансамблю как и в случае $<x>$? Здесь вроде особого непонимания нет, просто хотелось бы прямо уточнить: да или нет

3) Задача: доказать соотношение $\frac{d<p>}{dt} = <-\frac{\partial V}{\partial x}>$
Вопрос 1: верно ли, что эту задачу можно решить прямым вычислением $\frac{d<p>}{dt}$ с привлечением уравнения Шрёдингера (и не нужно привлекать дополнительные соображения вроде $\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial V}{\partial x}$ [у меня просто интегралы плохо себя ведут])? И если да, то
Вопрос 2: есть ли пути короче (про операторный формализм КМ я пока не знаю)?

[Ascold]

SNet в сообщении #1464721 писал(а):

Вопрос 1: верно ли, что эту задачу можно решить прямым вычислением $\frac{d<p>}{dt}$ с привлечением уравнения Шрёдингера (и не нужно привлекать дополнительные соображения вроде $\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial V}{\partial x}$)?

верно.

Цитата:

Вопрос 2: есть ли пути короче (про операторный формализм КМ я пока не знаю)?

Наверное, узнать про операторный формализм - есть формула для вычисления производных по времени от средних значений операторов.

Цитата:

2) В учебнике пишется, что в квантах в принципе бессмысленно говорить о координатах и скоростях частиц до измерения, вместо этого мы будем использовать операторы координаты и импульса. Но тогда что такое $<p> = \int_{-\infty}^{+\infty }\Psi^{*}\hat{p}\Psi dx$? Среднее по ансамблю как и в случае $<x>$? Здесь вроде особого непонимания нет, просто хотелось бы прямо уточнить: да или нет

да