Два разных определения ядра

[Qlin]

http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(algebra)#Monoid_homomorphisms
Для групп $\operatorname{ker} f = \{g \in G : f(g) = e_{H}\}\mbox{.}$
Для моноидов $\operatorname{ker} f = \{(m,m') \in M \times M : f(m) = f(m')\}\mbox{.}$
При этом всякая группа является также моноидом. Как так получается, что два определения одного и того же понятия неэквивалентны ?

[пианист]

(Оффтоп)

Цитата:

Не могу умолчать и не терплю когда ученые неправильно мыслят в уме своем и не могу не возразить Вам

[arseniiv]

Qlin
Ну вот вы видите, что там пишут, что ядро моноида выходит отношением эквивалентности, совместимым с операциями, и потому даёт фактормоноид. Факторгруппу можно получить аналогично, задав с помощью нормальной подгруппы подобное отношение эквивалентности. И тогда такое отношение для ядра морфизма групп должно быть ядром того морфизма с точки зрения моноидов. (Проверьте.) Вообще при факторизации отношение эквивалентности как есть начиная со случая множеств, так никуда и не девается и дальше, просто иногда о нём можно забыть, потому что например нормальная группа или идеал удобнее (не знаю, но легко верю).

[Bagritsky]

Еще там дальше пишут, что прообраз единицы недостаточен для определения ядра, потому что в моноиде не обязательно есть обратные элементы. В группе (кольце, векторном пространстве) с помощью обратных элементов мы можем от второго определения перейти к первому.

[Qlin]

Bagritsky в сообщении #1464560 писал(а):

В группе (кольце, векторном пространстве) с помощью обратных элементов мы можем от второго определения перейти к первому.

Как именно перейти с помощью обратных ?