Производная равна обратной

[Утундрий]

Наткнулся сегодня на презабавное уравнение $f'(x)=f^{-1}(x)$. Вдруг здесь ещё его не рассматривалось?

[arseniiv]

Полезно записать это как $f'\circ f = \mathrm{id} = f\circ f'$. Можно получить отсюда уравнения $(f''\circ f) f' = 1 = (f'\circ f') f''$, не особо полезнее конечно. Из первого докомпозированием $f$ можно получить $f''\circ f\circ f = f = f\circ f''\circ f$, из второго $f' (f''\circ f) = f = f' (f\circ f'')$, короче кажется на этом пути ничего интересного не получается, а вот исходное соотношение может хотя бы дать какие-то соотношения на коэффициенты ряда, но лень пока их считать.

UPD: По крайней мере можно установить, что для формальных степенных рядов (с натуральночисленными степенями) решений нет.

[Mihr]

Решение в виде степенной функции подбирается без труда: $y=\varphi^{1-\varphi}x^\varphi$, где $\varphi$ - коэффициент "золотого сечения": $\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

[Утундрий]

Mihr в сообщении #1464240 писал(а):

Решение в виде степенной функции...

Это решение совпадает с авторским.

[waxtep]

Можно найти частное решение $f(x)=n^{-1/n}x^n$, где $n$ - вовсе не целое, но все равно красивое, взяв $f()$ от исходного уравнения

[g______d]

https://mathoverflow.net/questions/3405 ... 4095#34095

[lek]

$f(x)=\sqrt{2x+c}$

[g______d]

lek, в задаче имеется в виду обратная по отношению к операции композиции, а не умножения.

[lek]

Пора спать ...

[SomePupil]

Задача есть на YouTube-канале Michael Penn. Там тоже подбором находится частное решение.

[Утундрий]

Да, там я на него и набрёл. Упомянутая в конце ролика следующая задача наверняка понравится arseniiv.

[g______d]

В 1968 году Youtube не было.

Ссылка на саму статью:

https://www.jstor.org/stable/2316695?seq=1

Она короткая, поэтому прилагаю картинку.

Вложение:

derivative.png

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1464280 писал(а):

Упомянутая в конце ролика следующая задача наверняка понравится arseniiv.

$f' = f\circ f$, мм. Да я вон даже в формальные ряды как следует не умею, что-то я не уверен, что в таких задачах от меня бывает польза. Хотя надо будет посчитать…