Декартово произведение

[bone_appettit]

Здравствуйте! Я купил книгу В. А. Зорича "Математический анализ". У меня возникли некоторые вопросы по декартовому произведению.

Задание: проиллюстрируйте геометрически декартово произведение.
1. Двух отрезков
Я наглядно это изобразил.
Например у нас есть 2 отрезка OA и OB. Оба они являются некими множествами.
То есть например отрезок OA содержит элементы 0, 1, 2, 3, 4, 5, и так далее до какого-то конца, и отрезок OA так же состоит из 0, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до какого-то конца.

Получается если брать пары этих множеств, то есть (0, 0), (0, 1), (0, 2) ... закончили с нулем
(1, 0), (1, 1), (1, 2) ... закончили с единицей
и так со всеми числами

то в итоге у нас получится вот такое множество точек, которое будет представлять из себя прямоугольник


а если бы отрезки были бы равны между собой, то получился бы квадрат!

2. Двух прямых
Это та же история что с отрезками, только дело в том, что эти прямые бесконечны по своей длине, значит получается бесконечно большой квадрат или прямоугольник, я не знаю.

Вот как он будет выглядеть


3. Прямой и окружности (получится цилиндрическая поверхность)
4. Прямой и круга (получится цилиндр)
5. Двух окружностей (получится тор)
6. Окружности и круга (получится полноторие)

Вот с пунктами 3-6 я никак не могу разобраться. Как их проиллюстрировать или визуализировать?

[Someone]

bone_appettit в сообщении #1464120 писал(а):

3. Прямой и окружности (получится цилиндрическая поверхность)
4. Прямой и круга (получится цилиндр)
5. Двух окружностей (получится тор)
6. Окружности и круга (получится полноторие)

Вот с пунктами 3-6 я никак не могу разобраться. Как их проиллюстрировать или визуализировать?

4 и 3. Вы учились в школе и никогда не видели кругового цилиндра и цилиндрической поверхности?
6 и 5. Вы не видели баранки и надувного плавательного круга?

[nnosipov]

Что, даже п. 3 не поддается усилиям?

Как-то в беседе со студентами выяснил, что некоторые из них никогда в жизни не видели параллелепипеда общего вида (такого совсем косоугольного, не прямоугольного). Честно говоря, затруднился привести им соответствующий распространенный бытовой пример (всякие дизайнерские штучки не в счет).

[mihaild]

(Оффтоп)

Тут ИМХО надо помнить, что это не просто декартово произведение множеств, а еще какие-то структуры на этом произведении, получающиеся из структур на сомножителях. Чисто как множества прямую от окружности отличить сложно.

[bone_appettit]

nnosipov в сообщении #1464130 писал(а):

Что, даже п. 3 не поддается усилиям?

Someone в сообщении #1464126 писал(а):

4 и 3. Вы учились в школе и никогда не видели кругового цилиндра и цилиндрической поверхности?
6 и 5. Вы не видели баранки и надувного плавательного круга?

Да нет, не в этом дело. Я знаю что такое цилиндр и тор. Я не понимаю как эти фигуры получаются из декартова произведения...

[nnosipov]

bone_appettit в сообщении #1464141 писал(а):

Я не понимаю как эти фигуры получаются из декартова произведения...

Да чего тут понимать: из каждой точки окружности выпускаем прямую перпендикулярно плоскости окружности. Вот и цилиндр. Ничего более хитрого в таких заданиях нет. Просто удобная картинка, чтобы представить себе визуально это декартово произведение.

[bone_appettit]

nnosipov в сообщении #1464145 писал(а):

bone_appettit в сообщении #1464141 писал(а):

Я не понимаю как эти фигуры получаются из декартова произведения...

Да чего тут понимать: из каждой точки окружности выпускаем прямую перпендикулярно плоскости окружности. Вот и цилиндр. Ничего более хитрого в таких заданиях нет. Просто удобная картинка, чтобы представить себе визуально это декартово произведение.

Большое спасибо. А не могли бы объяснить оставшиеся пункты?

[Евгений Машеров]

nnosipov в сообщении #1464130 писал(а):

Как-то в беседе со студентами выяснил, что некоторые из них никогда в жизни не видели параллелепипеда общего вида (такого совсем косоугольного, не прямоугольного). Честно говоря, затруднился привести им соответствующий распространенный бытовой пример (всякие дизайнерские штучки не в счет).

[nnosipov]

Евгений Машеров
Спасибо, красивая картинка. Но здесь все-таки есть прямые углы. Такие примеры мы находили (типа картонной коробки без дна, которая "складывается"). Хотелось, чтоб совсем без прямых углов.

bone_appettit в сообщении #1464169 писал(а):

А не могли бы объяснить оставшиеся пункты?

Нет, это уже будет перебор.

[TOTAL]

Цитата:

5. Двух окружностей (получится тор)

Странно это.
Во-первых, нет симметрии.
Во-вторых, при фиксировании одной компоненты не получается вторая.
Или всего этого и не требуется?

[Someone]

TOTAL в сообщении #1464307 писал(а):

Во-первых, нет симметрии.

Вы имеете в виду симметрию между окружностями? У тора есть такая симметрия: если его вывернуть наизнанку, чтобы внутренняя область оказалась снаружи, а внешняя — внутри, то окружности меняются местами.

TOTAL в сообщении #1464307 писал(а):

Во-вторых, при фиксировании одной компоненты не получается вторая.

Это непонятно. Что Вы называете "фиксированием одной компоненты", если Вым неизвестно, является ли обсуждаемый объект произведением? И как при этом должна "получаться" вторая?

[TOTAL]

Someone в сообщении #1464416 писал(а):

Что Вы называете "фиксированием одной компоненты", если Вым неизвестно, является ли обсуждаемый объект произведением? И как при этом должна "получаться" вторая?

Допустим, бублик тоненький (дырка очень большая). На маленькой окружности зафиксируем точку и умножим её Декартово на большую окружность. Получатся неодинаковые окружности, их размер зависит от выбранной точки. В предыдущих примерах таких "проблем" не было. Или это так и можно?

[Someone]

TOTAL в сообщении #1464420 писал(а):

Получатся неодинаковые окружности, их размер зависит от выбранной точки.

Мало ли какую метрику можно задать на произведении двух метрических пространств, и мало ли куда и как его можно вложить. В данном случае произведение рассматривается как топологическое понятие, а вложение в $\mathbb R^3$ нужно только для наглядности.

bone_appettit в сообщении #1464169 писал(а):

А не могли бы объяснить оставшиеся пункты?

Выкладывание готовых решений простых учебных задач запрещено правилами форума. Вплоть до полной блокировки злостного нарушителя.

[Padawan]

Someone в сообщении #1464430 писал(а):

В данном случае произведение рассматривается как топологическое понятие

Сомневаюсь. Это же первая глава. Чисто как множество. Согласен с TOTAL, дурацкая "задача". Болтология.

[VoprosT]

Советую посмотреть лекции по математическому анализу, читаемые на мехмате МГУ, лектор - Шапошников С.В. , найти эти лекции вы можете на ютуб-канале teach-in, лекции читаются очень близко к Зоричу, и эти примеры как раз есть там есть(где-то во 2-й или 3-й лекции за 1 семестр,посмотрите)