Показать, что случайный процесс является мартингалом

[Juicer]

Здравствуйте, хотел бы проверить правильность своих рассуждений.
Даны $X_1, X_2, ..., X_n$ - независимые случайные величины. $\mathbb{E}X_k = 0$. Нужно показать, что

$$M_n^{(k)}: = \sum_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n} X_{i_1} \cdot ... \cdot X_{i_k}$$

является мартингалом относительно сигма-алгебры $\mathcal{F}_n = \sigma(X_1, ..., X_n)$.
Нужно показать выполнения трёх свойств:
1 . Существование матожидания. Матожидание процесса $M_n^{(k)} $ существует и равно нулю, так как по свойствам матожидание суммы равно сумме матожиданий, а величины в произведениях независимы, соответственно матожидание произведения равно произведению матожиданий. И это всё равно нулю, поскольку матожидание каждой с.в. нулевое.
2. Измеримость. $M_n^{(k)} $ измерим относительно сигма-алгебры $\mathcal{F}_n, n \in T$, поскольку состоит из линейной комбинации случайных величин, её порождающих.
3. Нужно показать, что $\mathbb{E}(M_n^{(k)} | \mathcal{F}_m) = M_m^{(k)}, m\leq n.$

$$\mathbb{E}(M_n^{(k)} | \mathcal{F}_m) = \mathbb{E}\Bigg(\sum_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq m < n} X_{i_1} \cdot ... \cdot X_{i_k}+ \overbrace{\sum_{m + 1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n} X_{i_1} \cdot ... \cdot X_{i_k}}^{\mathbb{E} = 0 (\text{пункт 1}) } \Bigg| \mathcal{F}_m \Bigg) = M_n^{(k)} + 0 = M_n^{(k)}$$

И получим, что процесс $M_n^{(k)}$ - мартингал. Правильно всё?

[--mS--]

Да.

[Juicer]

На самом деле там в конце опечатка небольшая: после предпоследнего знака "равно" должно стоять $M_m^{(k)} + 0 = M_m^{(k)}$

[--mS--]

Ну понятно, что она там должна стоять ;)

[Null]

$$\mathbb{E}(M_n^{(k)} | \mathcal{F}_m) = \mathbb{E}\Bigg(\sum_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq m < n} X_{i_1} \cdot ... \cdot X_{i_k}+ \overbrace{\sum_{m + 1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n} X_{i_1} \cdot ... \cdot X_{i_k}}^{\mathbb{E} = 0 (\text{пункт 1}) } \Bigg| \mathcal{F}_m \Bigg) $$

Не похоже на правду, куда делись слагаемые вида $\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < m < i_3 < ... < i_k \leq n} X_{i_1} \cdot ... \cdot X_{i_k}$ и т.п.?

[--mS--]

Занулились из-за нулевых матожиданий последних членов

[Juicer]

Null в сообщении #1464496 писал(а):

куда делись слагаемые

вы просто переписали сумму под знаком матожидания? зачем?

Null в сообщении #1464496 писал(а):

и т.п.

и что вот это значит?
А, ясно: вы не поняли, что я сделал: просто разбил $M_n^{(k)}$ на две суммы ($m \leq n$)

[--mS--]

Juicer в сообщении #1464546 писал(а):

А, ясно: вы не поняли, что я сделал: просто разбил $M_n^{(k)}$ на две суммы ($m \leq n$)

В какую из этих сумм попало слагаемое, в котором несколько первых сомножителей имеют номера до $m$, а остальные - номера после $m$?

[Juicer]

--mS-- в сообщении #1464550 писал(а):

В какую из этих сумм попало слагаемое

опять недопонял, хорошо.
Да, они занулятся, - матожидание произведения независимых произведение матожиданий. Последние члены не буду зависеть от сигма-алгебры $\mathcal{F}_m$ и равны просто матожиданиям произведений иксов, а это нули