Работа по удлинению пружины

[infomonium]

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, где именно я рассуждаю неверно.

Задача: груз, висящий на лёгкой пружине жёсткостью $ k $, растягивает её на $\Delta x_0$. Какую работу надо затратить, чтобы утроить удлинение пружины, прикладывая к грузу вертикальную силу?

Решение: помимо работы внешней силы, работу также совершает сила тяжести, поэтому можно записать:
$ A_{all}= A_g + A$;
По теореме об изменении потенциальной энергии можем записать $A_{all}=\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}-\frac{9k\Delta x_0^{2}}{2}}$.
Работа силы тяжести $A_g=-k\Delta x_0^{2}$ (её ведь можно найти отдельно по теореме об изменении потенциальной энергии?)
Тогда получаем $A=\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}-\frac{9k\Delta x_0^{2}}{2} + k\Delta x_0^{2}=-3 k\Delta x_0^{2} $.

С ответом не сходится, полагаю, что я запутался с работой силы тяжести.

[Pphantom]

infomonium в сообщении #1463771 писал(а):

Работа силы тяжести $A_g=-k\Delta x_0^{2}$ (её ведь можно найти отдельно по теореме об изменении потенциальной энергии?)

Можно, но это нужно сделать аккуратно (тот промежуточный результат, который вы написали, неверен).

Заодно я бы посоветовал (это не обязательно, но полезно) подумать о выборе знаков, нынешний вариант уж больно противоестественен.

[infomonium]

Pphantom в сообщении #1463774 писал(а):

infomonium в сообщении #1463771 писал(а):

Работа силы тяжести $A_g=-k\Delta x_0^{2}$ (её ведь можно найти отдельно по теореме об изменении потенциальной энергии?)

Можно, но это нужно сделать аккуратно (тот промежуточный результат, который вы написали, неверен).

У меня получается так: $ A_g=mgx_0-3mgx_0=-2mgx_0$.
Полагая, что $mgx_0=\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}$ (может я здесь ошибаюсь?), получаем $ A_g=-2mgx_0=-2\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}.

Pphantom в сообщении #1463774 писал(а):

infomonium в сообщении #1463771 писал(а):

Заодно я бы посоветовал (это не обязательно, но полезно) подумать о выборе знаков, нынешний вариант уж больно противоестественен.

Работа внешних сил - работа против силы упругости. Получается, что я нашел (с ошибкой), работу силы упругости, а теперь надо взять эту работу с противоположным знаком и получится положительная искомая работа?

[Pphantom]

infomonium в сообщении #1463855 писал(а):

Полагая, что $mgx_0=\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}$ (может я здесь ошибаюсь?),

Да, именно здесь вы и ошибаетесь. Даже если отвлечься от странного физического смысла этого утверждения, что такое $x_0$ и откуда вы собрались его брать?

На самом деле все проще. Вы знаете, что исходно груз висел на пружине и покоился. Что отсюда следует?

[infomonium]

Pphantom в сообщении #1463860 писал(а):

infomonium в сообщении #1463855 писал(а):

Полагая, что $mgx_0=\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}$ (может я здесь ошибаюсь?),

Да, именно здесь вы и ошибаетесь. Даже если отвлечься от странного физического смысла этого утверждения, что такое $x_0$ и откуда вы собрались его брать?

Тут я, конечно, еще и с обозначениями напутал, считал, что $x_0=\Delta x_0$.

Pphantom в сообщении #1463860 писал(а):

infomonium в сообщении #1463855 писал(а):

Полагая, что $mgx_0=\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}$ (может я здесь ошибаюсь?),

Вы знаете, что исходно груз висел на пружине и покоился. Что отсюда следует?

Это значит, что сила упругости равна силе тяжести, действующей на груз: $k\Delta x_0=mg$.
Теперь найдем работу силы тяжести по теореме: $A_g=mgh_0-mgh_1=mg(h_0-h_1)$, где h_0-h_1=$\Delta x_0 - 3\Delta x_0=-2\Delta x_0$$.
Значит, работа силы тяжести $A_g=-4\frac{k\Delta x_0^{2}}{2}$

В итоге получаю, что искомая работа $A=2k\Delta x_0^{2}$.

Теперь все сошлось. Спасибо большое за помощь!

[Pphantom]

infomonium в сообщении #1463868 писал(а):

Это значит, что сила упругости равна силе тяжести, действующей на груз: $k\Delta x_0=mg$.

Угу. Дальше все правильно.