О компактификации изотропного конуса

[bayak]

Если мы возьмём псевдоевклидову плоскость и преобразуем её в тор так, чтобы изотропные прямые отобразились на задающие окружности тора (по формуле $\mathbb{R} \to S^1 : e^{2i\pi x}$, где для того, чтобы в преобразованных координатах получилось произведение окружностей, в приведенную формулу следует поочерёдно подставлять координату из пары изотропных координат), то изотропные прямые превращаются в букет из двух окружностей $S^1\vee S^1$. А если мы ещё и склеим (отождествим) пару окружностей букета в одну окружность, то тор превратится в сферу.

Возьмём теперь 4-мерное пространство с нейтральной метрикой и преобразуем его так, чтобы пары изотропных прямых любой его псевдоевклидовой плоскости отобразились на окружность (имеется в виду, что перед отображением на окружность пара изотропных координат $X,Y$ склеивается в одну координату $Z=X=Y$). Тогда, поскольку псевдоевклидова плоскость (вместе со своими изотропными координатами) может вращаться в одном из 2-мерных подпространств с отрицательной или положительной метрикой, то изотропный конус превращается в 3-тор $S^1\times S^1\times S^1$.

В случае 6-мерного пространства с нейтральной метрикой после компактификации изотропных координат всех его псевдоевклидовых плоскостей мы получим произведение сфер $S^2\times S^2\times S^1$, а при преобразовании 8-мерного пространства с нейтральной метрикой изотропный конус превращается в произведение Клиффордова тора и окружности $S^3\times S^3\times S^1$.

В этой связи у меня два дискуссионных вопроса. Во-первых, в какое замкнутое многообразие превращается (при такой компактификации изотропного конуса) пространство с нейтральной метрикой произвольной чётномерной размерности, а во-вторых, как описать замкнутые обмотки 3-тора? Я не уверен, но на первый взгляд, пространство с нейтральной метрикой $\mathbb{R}^{2n$} превращается в сферу $S^{2n}$, а замкнутые обмотки 3-тора представляются как замкнутые ленточки, свободно лежащие (с возможностью вращения) на классическом 2-торе.

[Modest]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Вас много раз просили не использовать слово "намотались". Хотите задать вопрос в математическом разделе -- используйте математический язык.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.