Ступенчатая зарядка конденсатора

[profilescit]

В цепи с резистором и конденсатором подключают источник напряжения. Напряжение зависит от времени как показано в графике ниже.


Фактор насыщения $\eta = \frac{t_1}{t_1+t_2}$, максимальное напряжение источника $E$

Нужно найти через сколько периодов $T = t_1 + t_2$ конденсатор зарядится на $90$% от максимального напряжения. (Те кто проектируют электрические цепи обычно выбирают параметры $R$ и $C$ так чтобы конденсатор заряжался на $90$% через $20$ периодов.) Найти эффективное напряжение источника.

Мое решение:

Для зарядки конденсатора $U_{(t)} = E - (E-U_0) e^{-\frac{t}{RC}}$ где $U_0$ начальное напряжение на конденсаторе.
Для разрядки конденсатора $U_{(t)} = U_0 e^{-\frac{t}{RC}}$

Узнав какое будет напряжение через 2-3 периода так и не сумел найти закономерность, то есть функцию напряжения от количества периодов...

Начал решать задачу с конца. Для получения эффективного напряжения запишем
$\frac{E^2}{R}t_1 = \frac{U_{eff}^2}{R}(t_1+t_2)$ откуда $U_{eff} = E \sqrt{\eta}$

Можно ли в таком случае утверждать что $U = U_{eff}(1-e^{-\frac{t}{RC}})$?

[EUgeneUS]

profilescit
Попробуйте записать рекуррентное соотношение:
$U_{n+1} = F(U_n, n)$, где $U_n$ - напряжение на конденсаторе в конце $n$-го периода.
И посмотреть, что получится.

[profilescit]

EugeneUS, получил такое рекуррентное соотношение:

$U_{n+1} = E (1-e^{-\frac{t_2}{RC}}) + U_{n} e^{-\frac{T}{RC}}$
Данное рекуррентное соотношение имеет форму $a_{n+1} = k a_{n} + b$ и общее решение $a_n = b\frac{k^n-1}{k-1} + c_1 k^{n-1}$

Переходя к напряжению, получим что $U_n = E(1-e^{-\frac{t_2}{RC}}) \frac{e^{-\frac{NT}{RC}}-1}{e^{-\frac{T}{RC}}-1} + c_1 e^{-\frac{(N-1)T}{RC}}$

Знаем что $U_1 = E(1-e^{-\frac{t_1}{RC}})$ откуда находим константу $ c_1 = E(e^{-\frac{t_2}{RC}} - e^{-\frac{t_1}{RC}})$

Однако, все еще не удается привезти выражение к форме где не используется $t_1$ и $t_2$

[DimaM]

profilescit в сообщении #1462811 писал(а):

Однако, все еще не удается привезти выражение к форме где не используется $t_1$ и $t_2$

Так это нормально. Скажем, если $t_1=3RC$, то зарядится на 90% через один период.

И еще, поясните условие задачи: при отключении источника RC-цепь замыкается или нет? Если замыкается, то зарядка до 90% возможна отнюдь не при любых $t_1,\, t_2$.

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1462811 писал(а):

Однако, все еще не удается привезти выражение к форме где не используется $t_1$ и $t_2$

Нужно привести к форме, где $t_1$ и $t_2$ выражаются через $T$ и $\eta$
$\eta$ - задана
от зависимости от $T$ избавиться не получится, точнее не удастся избавиться от зависимости от $\frac{T}{RC}$

-- 15.05.2020, 10:21 --

DimaM в сообщении #1462881 писал(а):

Если замыкается, то зарядка до 90% возможна отнюдь не при любых $t_1,\, t_2$.

90% от максимального напряжения. А его еще найти надо.
В условиях не очень понятно, что значит "эффективное напряжение". Возможно, имеется в виду "действующее значение напряжения"?

-- 15.05.2020, 10:27 --

profilescit
Рекомендую свести к виду:
$U_N = A (1 - B e^{-CN})$
Тогда $A$ будет максимальным напряжением на конденсаторе, а вопрос задачи сведется к уравнению $(1 - B e^{-CN}) = 0.9$

[EUgeneUS]

К вопросу об "эффективном" напряжении.

Слово "эффективное" может означать разное, в зависимости от контекста (от задачи). В частности, здесь под эффективным напряжением можно подразумевать максимальное напряжение на конденсаторе.
Однако, склоняюсь к мнению, что авторы задачи имели в виду действующее напряжение - термин однозначный и понятный.
Действующее напряжение определяется как среднеквадратичное напряжение:

$U_d \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sqrt{\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} (U(t))^2 d t} $

Поэтому для его расчета совершенно не обязательно привлекать какое-то сопротивление:

profilescit в сообщении #1462697 писал(а):

Начал решать задачу с конца. Для получения эффективного напряжения запишем
$\frac{E^2}{R}t_1 = \frac{U_{eff}^2}{R}(t_1+t_2)$ откуда $U_{eff} = E \sqrt{\eta}$

Однако, результат получился верным.

[profilescit]

DimaM, судя по тексту задачи - замыкается. Источник напряжения остается в сети, просто напряжение на нем меняется "ступенчато".

EUgeneUS в сообщении #1462888 писал(а):

90% от максимального напряжения. А его еще найти надо.
В условиях не очень понятно, что значит "эффективное напряжение". Возможно, имеется в виду "действующее значение напряжения"?

Да, эффективное напряжение и есть действующее значение напряжения. Издержки перевода, прошу прощения.

Немного из других соображений (из рекуррентного соотношения) удалось найти максимальное напряжение $U_{max} = E \frac{1-e^{-\frac{t_2}{RC}}}{1-e^{-\frac{T}{RC}}}$

EUgeneUS в сообщении #1462888 писал(а):

Рекомендую свести к виду:
$U_N = A (1 - B e^{-CN})$
Тогда $A$ будет максимальным напряжением на конденсаторе, а вопрос задачи сведется к уравнению $(1 - B e^{-CN}) = 0.9$

А вот это пока что не особо получается сделать, писанины много. Я, признаюсь, человек ленивый который экономит время, по этому введу обозначения
$t_1 = \eta T$
$t_2 = (1-\eta)T$

$\tau_1 = e^{-\frac{t_1}{RC}}$
$\tau_2 = e^{-\frac{t_2}{RC}}$

$U_n = E \frac{\tau_1 \tau_2 - 1 - \tau_1 \tau_2^2 + (\tau_1 \tau_2)^N(\tau_2 - \tau_1 - \frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_1 \tau_2})}{\tau_1 \tau_2 -1}$

Что-то максимальное напряжение не совпадает с полученным ранее, наверное нельзя так просто из рекуррентного соотношения его вычислить.

Пробую разобраться до конца...

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1462907 писал(а):

Да, эффективное напряжение и есть действующее значение напряжения. Издержки перевода, прошу прощения.

Тогда понятно, вопрос снят.

profilescit в сообщении #1462907 писал(а):

Немного из других соображений (из рекуррентного соотношения) удалось найти максимальное напряжение $U_{max} = E \frac{1-e^{-\frac{t_2}{RC}}}{1-e^{-\frac{T}{RC}}}$

У меня также. Только обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят отрицательные числа. Поэтому более нагляднее, что ли, писать так:
$U_{max} = E \frac{e^{-\frac{t_2}{RC}}-1}{e^{-\frac{T}{RC}}-1}$

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1462909 писал(а):

Только обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят отрицательные числа. Поэтому более нагляднее, что ли, писать так:
$U_{\max} = E \frac{e^{-\frac{t_2}{RC}}-1}{e^{-\frac{T}{RC}}-1}$

В числителе и знаменателе стоят отрицательные числа как раз сейчас.

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1462907 писал(а):

А вот это пока что не особо получается сделать, писанины много. Я, признаюсь, человек ленивый который экономит время, по этому введу обозначения

Да в принципе уже все видно из

profilescit в сообщении #1462907 писал(а):

$U_n = E \frac{\tau_1 \tau_2 - 1 - \tau_1 \tau_2^2 + (\tau_1 \tau_2)^N(\tau_2 - \tau_1 - \frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_1 \tau_2})}{\tau_1 \tau_2 -1}$

1. Нужно умножить на $-1$ числитель и знаменатель, чтобы там были положительные числа.
2. Максимальное напряжение Вы уже нашли ранее.
3. Обратим внимание на то, что у нас в степени $N$

$(\tau_1 \tau_2)^N = (e^{-\frac{t_1}{RC}} e^{-\frac{t_2}{RC}})^N = e^{-\frac{TN}{RC}}$

Сделав замену $TN = t$ мы перейдем от дискретной функции к непрерывной, описывающей огибающую напряжения (по максимумам)
И с удивлением обнаруживаем, что постоянная времени у неё в точности равна $RC$ и никак от скважности\коэффициента заполнения не зависит!

Страшный агрегат перед этой экспонентой описывает начальную фазу меандра (в момент времени $t=0$), и при удачном выборе этой фазы (см. мой пост выше) он обращается в прекрасную единицу (после выноса за скобки максимального напряжения)

-- 15.05.2020, 13:17 --

DimaM в сообщении #1462915 писал(а):

В числителе и знаменателе стоят отрицательные числа как раз сейчас.

чьёрт побьери! Вы правы.

-- 15.05.2020, 13:37 --

profilescit
Кстати, у этой задачи есть интересное продолжение: если $RC \gg T$, то какое напряжение установится на конденсаторе (при $N \to \infty$)?

[profilescit]

EUgeneUS, вроде как $U = \frac{E}{1-\eta}$

[EUgeneUS]

То есть будет больше максимального напряжения сигнала?

[profilescit]

EugeneUS
Снова невнимательность моя... Конечно не больше, правильно будет $U = E (1-\eta)$

[EUgeneUS]

profilescit
При коэффициенте заполнения равном $1$ (постоянное напряжение) будет ноль?

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1462932 писал(а):

При коэффициенте заполнения равном $1$ (постоянное напряжение) будет ноль?

В исходной формуле

profilescit в сообщении #1462907 писал(а):

максимальное напряжение $U_{\max} = E \frac{1-e^{-\frac{t_2}{RC}}}{1-e^{-\frac{T}{RC}}}$

именно так и получается.