Вопрос по ковариации величины и её производной по параметру

[CyXOB][]

Дана векторная нормальная случайная величина $x_0(\theta)$ с параметрами $E[x_0(\theta)]$ и $P_{x_0}(\theta)$, где $\theta$ - S-вектор параметров . Т.е. параметры распределения функционально зависят от набора параметров $\theta$. Необходимо найти параметры плотности совместного распределения случайных величин $x_0(\theta),\frac{\partial x_0(\theta)}{\partial\theta_1},\ldots,\frac{\partial x_0(\theta)}{\partial\theta_S},\ldots$
Впечатление, что чего-то не хватает ...

[Jnrty]

CyXOB][ писал(а):

x_0(\theta) , \frac{\partial x_0(\theta)}{\partial \theta_1}, ... , \frac{\partial x_0(\theta)}{\partial \theta_S}...
Впечатление, что чего-то не хватает ...

Jnrty:

Не хватает знаков доллара вокруг формулы:

[math]$x_0(\theta),\frac{\partial x_0(\theta)}{\partial\theta_1},\ldots,\frac{\partial x_0(\theta)}{\partial\theta_S},\ldots$[/math]

Причём, тег Math не всегда обязателен, а вот знаки доллара весьма желательны.

x_0(\theta),\frac{\partial x_0(\theta)}{\partial\theta_1},\ldots,\frac{\partial x_0(\theta)}{\partial\theta_S},\ldots$

[CyXOB][]

Вообще ожидается ответ по существу вопроса

[PAV]

Параметры распределения случайных величин сами не являются случайными величинами, равно как и функции от них. Поэтому вопрос неясен.

[CyXOB][]

Логично . Где-то должно сработать то, что ковариации находятся не между произвольными двумя процессами а между процессами с функциональной связью . А где пока ума не приложу

[PAV]

Мне непонятно по сути, что Вы хотите найти. Если $x_0(\theta)$ - известная заданная функция, то все ее производные можно просто посчитать и получить набор точно заданных функций. Случайности в них никакой нет. И что Вы хотите?

[CyXOB][]

Первое предложение первого поста - $x_0(\theta)$ - случайная величина, распределенная с параметрами , которые в свою очередь как-то зависят от вектора параметров $\theta$ . Вопрос в корелляции этой самой случайной величины с её производными ...

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

Однако мысль пришла . Идея такая . Поскольку величину $x_0(\theta) можно представить в виде $L(\theta)\xi+E[x_0(\theta)]$, где $L(\theta)L^T(\theta)=P_{x_0}(\theta)$, а $\xi$ - стандартный нормальный вектор, можно уже дальше дифференцировать это представление и находить непосредственно ковариацию как учили .

[PAV]

CyXOB][ писал(а):

Дана векторная нормальная случайная величина $x$ с параметрами $x_0(\theta)$ и $P_{x_0}(\theta)$, где $\theta$ - S-вектор параметров . Т.е. параметры распределения функционально зависят от набора параметров $\theta$.

Вы же совсем другое пишете. Случайная величина - это $x$, а $x_0(\theta)$ - параметры ее распределения, которые сами уже не случайные. Вы уж определитесь.

[CyXOB][]

Поправил первый пост - руки вперёд головы )

[PAV]

Теперь напишите, пожалуйста, как Вы себе представляете дифференцирование случайной величины по параметру ее распределения.

[CyXOB][]

Я разве сказал, что дифференцирую именно по параметру распределения ? Что-то не припомню . Да и вопрос уже не актуален .

[Henrylee]

Напоминает разговор с самим собой.

Даже в одномерном случае ($\theta\in\mathbb R$) семейство гауссовских случайных величин $x_0(\theta)$, $(\theta\in\mathbb R)$ не задают однозначно никакой процесс. А Вы уже хотите что-то там дифференцировать (траектории, как выясняется) и даже совместные распределения искать.
А дальше оказывается, что все с.в. семейства зависят от одной и той же

CyXOB писал(а):

величину $x_0(\theta) можно представить в виде $L(\theta)\xi+E[x_0(\theta)]$

Это Вы делаете такой вывод, не основанный ни на чем? Или это в условии было?
Впрочем, раз автор снял актуальность вопроса, то и ладно.

[CyXOB][]

Henrylee писал(а):

CyXOB писал(а):

величину $x_0(\theta) можно представить в виде $L(\theta)\xi+E[x_0(\theta)]$

Это Вы делаете такой вывод, не основанный ни на чем? Или это в условии было?

Так Вы возьмите и проверьте. Такое представление возможно - ковариационная матрица положительно определена.

Дифференцируется не случайный процесс, а конкретная случайная величина. И через такое представление можно как раз и получить связь параметров распределения исходной нормальной величины и её производной.

Где применять такую задачу? Вариант - даётся случайный процесс, задаваемый моделью состояний и имеющий в начальный момент времени распределение, параметры которого неизвестны и подлежат оцениванию. И процедура активного оценивания требует вычисления начальных распределений производных этого процесса по параметрам модели. Отсюда и задача была.

[PAV]

Любая попытка определения производной случайной величины $x(\theta)$ по $\theta$ связана с исследованием величины $$\frac{x(\theta)-x(\theta')}{\theta-\theta'}$ (для простоты пусть пока $\theta$ - числовой параметр). В числителе здесь стоят две случайные величины и никакое исследование невозможно до тех пор, пока не заданы хоть в каком-то виде их корреляционные характеристики. Скажем, когда речь идет о производных случайного процесса по времени, то определение случайного процесса должно задавать, как связаны друг с другом его значения при различных моментах времени. В корреляционной теории именно это и задается.

Вы же никак не определили корреляционные характеристики между случайной величиной при одном наборе параметров $\theta$ и при другом $\theta'$. Без этого никакие производные посчитать нельзя.

[Henrylee]

CyXOB][ писал(а):

Henrylee писал(а):

CyXOB писал(а):

величину $x_0(\theta) можно представить в виде $L(\theta)\xi+E[x_0(\theta)]$

Это Вы делаете такой вывод, не основанный ни на чем? Или это в условии было?

Так Вы возьмите и проверьте. Такое представление возможно - ковариационная матрица положительно определена.

Этого недостаточно. Ваше представление заставляет с.в. быть зависимыми определенным образом, чего в условии задачи не было. Впрочем PAV уже прекрасно Вам это объяснил.